1-6-ma'ruzalar
Download 0.82 Mb.
|
1-6-ma\'ruzalar
Bu yerda birinchi satrda A1 to‘plam elementlari joylashgan, ikkinchi satrda A2 to‘plam elementlari joylashgan va hokazo. Endi jadvalning barcha elementlarini «diagonal bo‘yicha» nomerlab chiqamiz, ya’ni birinchi element deb a11 ni, ikkinchi element deb a12 ni, uchinchi element deb a21 ni, to‘rtinchi element deb a31 ni, beshinchi element deb a22 ni, oltinchi element deb a13 ni va hokazo, ya’ni quyida strelka bilan ko‘rsatilgan tartibda harakat qilib, nomerlab chiqamiz: a11 → a12 a13 → a14, Umuman olganda amn element (m +1)⋅(n +1) dan oshmagan nomerga ega bo‘ladi. Ravshanki, bu qoida bo‘yicha tartiblashda A An n=1 to‘plamning har bir elementi aniq bir nomerga ega bo‘ladi. Demak, jadval ko‘rinishida tasvirlangan A to‘plam va natural sonlar to‘plami o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslikni ko‘rsatilgan usulda o‘rnatish mumkin. ∆ 2.3-xossa. Har qanday cheksiz to‘plam sanoqli qism to‘plamga ega. Isbot. Aytaylik, M cheksiz to‘plam bo‘lsin. Undan ixtiyoriy a1 elementni tanlaymiz. M cheksiz to‘plam bo‘lgani uchun unda a1 dan farqli a2 elementni tanlash mumkin, undan keyin a1 va a2 dan farqli a3 elementni tanlaymiz, M cheksiz to‘plam bo‘lgani uchun bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin. M cheksiz to‘plam bo‘lganligi uchun har bir element tanlanganidan keyin unda cheksiz ko‘p element qoladi. Natijada A ={a1,a2,…,an,…} sanoqli qism to‘plamga ega bo‘lamiz. ∆ Bundan, sanoqli to‘plamlar cheksiz to‘plamlar ichida eng minimali bo‘ladi deb aytish mumkin. Ekvivalent to‘plamlar. U yoki bu cheksiz to‘plamlarni natural sonlar to‘plami bilan taqqoslash natijasida sanoqli to‘plam tushunchasiga keldik. To‘plamlarni nafaqat natural sonlar to‘plami bilan taqqoslash mumkin, balki ixtiyoriy ikki to‘plamni ular o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik (biyeksiya) o‘rnatish bilan taqqoslash mumkin. 2.3-ta’rif. Sanoqli bo‘lmagan cheksiz to‘plam sanoqsiz to‘plam deyiladi. 4-ta’rif. Agar A va B to‘plamlar o‘rtasida biyektiv moslik o‘rnatish mumkin bo‘lsa, u holda ular ekvivalent to‘plamlar deyiladi va A ∼ B shaklida belgilanadi. To‘plamlarning ekvivalentligi tushunchasini ham chekli to‘plamlar, ham cheksiz to‘plamlar uchun qo‘llash mumkin. Ikkita chekli to‘plam ekvivalent bo‘lishi uchun ularning elementlari soni teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. Endi sanoqli to‘plam tushunchasini boshqacha ta’riflash mumkin: agar to‘plam natural sonlar to‘plamiga ekvivalent bo‘lsa, u sanoqli to‘plam deyiladi. Ishonch hosil qilish qiyin emaski, agar ikkita to‘plam uchunchi to‘plamga ekvivalent bo‘lsa, ularning o‘zlari ham ekvivalentdir, xususan, ixtiyoriy ikkita sanoqli to‘plamlar ekvivalentdir. Ixtiyoriy ikkita [a,b] va [c,d] kesmalardagi nuqtalar to‘plamlari ekvivalentligini isbotlang. Bu yerda a Isbot. [a,b] va [c,d] kesmalar o‘rtasidagi biyektiv moslik 2.1chizmadan ham ko‘rinib turibdi. Bu to‘plamlar o‘rtasida biyektiv moslikni d −c ϕ :[a,b] → [c,d], ϕ(x) = (x −a)+c. b −a orqali o‘rnatish mumkin. ϕ ning biyektiv moslik ekanligi 1.9, 1.10misollardan kelib chiqadi. 2.1-chizma. Sonlar o‘qi R va (0, 1) interval ekvivalent to‘plamlardir. Bu to‘plamlar o‘rtasida biyektiv moslikni 1 1 y = arctgx + π 2 funksiya yordamida o‘rnatish mumkin. Cheksiz to‘plamlarga oid misollarni o‘rganish jarayonida ko‘rdikki, ba’zida cheksiz to‘plamlar o‘zining biror xos qism to‘plamiga ekvivalent bo‘ladi. Masalan, butun sonlar to‘plami va natural sonlar to‘plami ekvivalent, sonlar o‘qi esa (0, 1) intervalga ekvivalent. Bu holat faqat cheksiz to‘plamlarga xosdir. Haqiqatan, 2.3xossada ko‘rilgan cheksiz M to‘plam va uning {a1,a2,…,an,…}= =A sanoqli qismini qaraylik. Bu A to‘plamni A1 ={a1,a3,…,a2n−1,…} va A2 ={a2,a4,…,a2n,…} qism to‘plamlarga ajratamiz. M va M \A2 to‘plamlarni ekvivalent ekanligini isbotlang. Isbot. A va A1 to‘plamlar sanoqli bo‘lgani uchun, ular ekvivalentdir. Shuning uchun ular o‘rtasida ϕ : A → A1 biyektiv moslik mavjud. Bu moslikni undan keyin A∪(M \A) = M va A1 ∪(M \A) = M \A2 to‘plamlarga quyidagicha davom ettirish mumkin, ya’ni M \A to‘plam-ning har bir elementiga o‘zi mos qo‘yiladi, ya’ni ψ : M → M \A2, ψ(x) = ϕ(x) agar x ∈ A . x agar x ∈ M \A Shunday qilib, M va M \A2 to‘plamlar o‘rtasida biyektiv moslik o‘rnatildi. Lekin M va M \A2 to‘plamlar teng emas, ammo ular ekvivalent. ∆ Natijada biz quyidagi tasdiqqa ega bo‘lamiz. 2.1-tasdiq. Ixtiyoriy cheksiz to‘plam o‘zining biror xos qism to‘plamiga ekvivalent bo‘ladi. Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar Agar a va b haqiqiy sonlarning kasr qismlari teng bo‘lsa, ularni ϕ munosabatda deymiz. Bu munosabat ekvivalentlik munosabati bo‘ladimi? f : R → R ,f(x) = 0,5⋅[x] funksiya berilgan. Agar A =[0, 8], B = (2, 3) bo‘lsa, f(A) va f−1(B) larni toping. f : X → [5, 20], f(x) = x2 +1 funksiya berilgan. X to‘plam qanday tanlansa, f −ustiga (syuryektiv) akslantirish bo‘ladi? f : X → [0, ∞) , f(x) = x2 +1 funksiya berilgan. X to‘plam qanday tanlansa, f − inyektiv akslantirish bo‘ladi? f :[0, π]→−[ 1,1], f(x) = cosx , g :[0, π]→ [0,1], g(x) = sinx , ϕ :[0, ]→ [0, 1], ϕ(x) = sinx , ψ :[0, 3]→ [0,10], ψ(x) = x2 +1, akslantirishlar ichidan inyektiv, syuryektiv va biyektivlarini alohida ajrating. O‘zbekistondagi barcha talabalar to‘plami sanoqlimi? Barcha ratsional sonlar to‘plami sanoqlimi? Ayirmasi chekli, keshishmasi sanoqli bo‘lgan A va B sanoqli to‘plamlarga misol keltiring. Simmetrik ayirmasi sanoqli, kesishmasi chekli bo‘lgan A va B sanoqli to‘plamlarga misol keltiring. A va B to‘plamlarning arifmetik yig‘indisi deganda C = {c :c = a +b,a ∈ Ab, ∈ B} to‘plam tushuniladi. Agar A va B to‘plamlar sanoqli bo‘lsa, ularning arifmetik yig‘indisi ham sanoqli bo‘lishini isbotlang? sinx = 0,5 tenglamaning barcha haqiqiy ildizlari to‘plami sanoqlimi? Barcha ratsional koeffitsiyentli ko‘phadlar to‘plami sanoqli ekanligini isbotlang. Agar ξ son biror ratsional koeffitsiyentli ko‘phadning ildizi bo‘lsa, ξ algebraik son deb ataladi. Algebraik sonlar to‘plamining sanoqli ekanligini isbotlang. Agar A to‘plam B ga, B to‘plam C ga ekvivalent bo‘lsa, u holda A to‘plam C ga ekvivalent bo‘lishini isbotlang. To‘plamlar o‘rtasida kiritilgan ekvivalentlik munosabati refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo‘lishini isbotlang. 3- ma’ruza. To‘plam quvati tushunchasi. Kantor-Bernshteyn teoremasi (2 soat) Darsning rejasi: Kontinuum quvvatli to‘plamlar. To‘plam quvvati tushunchasi. To‘plamlar quvvatini solishtirish. Kantor-Bernshteyn teoremasi. Darsning maqsadlari: Ta’limiy maqsadi: talabalarni kontinuum quvvatli to‘plamlar, to‘plam quvvati tushunchasi, to‘plamlar quvvatini solishtirish, KantorBernshteyn teoremasi bilan tanishtirish. Rivojlantiruvchi maqsadi: talabalarning izlanuvchanlik faoliyatini rag‘batlantirish, muammoli topshiriqlarga mulohazali javoblar berish ko‘nikmalarini hosil qilish hamda ularda natijalarni umumlashtirish mantiqiy va ijodiy qobiliyatini, muloqot madaniyatini rivojlantirish. Tarbiyaviy maqsadi: talabalarni mustaqil fikrlash va faol mustaqil ish faoliyatiga jalb etish, ularda o‘zaro hurmat, hamkorlik fazilatlarini shakllantirish hamda fanga bo‘lgan qiziqishni o‘stirish. Tayanch iboralar: kontinuum quvvatli to‘plamlar, KantorBernshteyn teoremasi. Darsning jihozlari: auditoriya doskasi, darsliklar, o‘quv va uslubiy qo‘llanmalar, ma’ruzalar kursi, tarixiy ma’lumotlar, izohli lug‘atlar, atamalar, o‘tilgan dars mavzusi bo‘yicha savollar va muammoli toshiriqlar majmuasi, testlar, kartochkalar, shaxsiy kompyuter, lazerli proyektor. Dars o‘tish usuli: avval o‘tilgan mavzu qay darajada o‘zlashtirilganligini tekshirish, o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va topshiriqlarni bajarish bo‘yicha munozarali jonli muloqotni amalga oshirish, talabalarni yangi mavzu bo‘yicha asosiy tushuncha va natijalar haqida fikr-mulohazalarni bayon qilishga o‘rgatish, savoljavob usulidan foydalanib, o‘zlashtirishga erishish; asosiy iboralarga alohida izoh berish; o‘tilgan mavzuni o‘zlashtirish darajasini tekshirish va mustahkamlash. Darsning borishi. Tashkiliy qism (7 daqiqa): dars xonasining sanitariya holatini kuzatish, davomat va talabalarning darsga tayyorligini tekshirish. Talabalarni o‘tgan ma’ruza boshida bajargan ishlari (o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javoblar va muammoli topshiriqlarni bajarish) natijalarini e’lon qilish. O‘tilgan mavzular bo‘yicha (8 daqiqa): talabalarning o‘tgan ma’ruzada ko‘rsatilgan o‘z-o‘zini tekshirish savollariga javob berish va muammoli topshiriqlarni bajarishini tashkil etish natijasida talabalarning bilim darajasini aniqlash (bunda har bir talaba o‘z varianti bo‘yicha yozma javob berishi ko‘zda tutiladi). 3- ma’ruza bo‘yicha o‘z-o‘zini tekshirish savollari Kontinium quvvatli to‘plamlar. [0,1] oraliqning sanoqsizligi Kantor to‘plami To‘plam quvvati tushunchasi. To‘plamlar quvvatini solishtirish. Kantor-Bernshteyn teoremasi. 3- ma’ruza bo‘yicha muammoli topshiriqlar Download 0.82 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|