1-6-ma'ruzalar
Download 0.82 Mb.
|
1-6-ma\'ruzalar
A∈S, A1 ∈S va A1 ⊂ A ekanligidan S sistemaning o‘zaro kesishmaydigan A2,…,An cheklita elementlari mavjud bo‘lib,
n A\A1 = ∪ Ak tasvir o‘rinli bo‘ladi. k=2 Agar A to‘plam o‘zaro kesishmaydigan A1,A2,…,An to‘plamlar birlashmasidan iborat bo‘lsa, bu birlashma A to‘plamning «chekli yoyilmasi» deyiladi. Ixtiyoriy S to‘plamlar halqasi yarim halqa bo‘ladi, chunki A va A1(A1 ⊂ A) to‘plamlar S ga tegishli bo‘lsa, u holda A2 = A\A1 ∈ S bo‘lib, A = A1 ∪ A2 chekli yoyilma o‘rinli bo‘ladi. Demak, har qanday halqa yarim halqa bo‘lar ekan. Quyida biz shunday yarim halqaga misol keltiramizki, u halqa bo‘la olmaydi. 4.5. Sonlar o‘qidagi barcha [a, b) yarim ochiq intervallar sistemasi- S yarim halqa bo‘lishini isbotlang. Isbot. S bo‘sh [a, a) = ∅ to‘plamni saqlaydi. S to‘plamlar kesishmasi amaliga nisbatan yopiq, ya’ni [a,b), [c,d)∈S munosabatdan [a, b) [c, d)∈S munosabat kelib chiqadi. [a, b)∈S, [a1, b1)∈S va [a1, b1) ⊂[a, b) ekanligidan [a, b) \[a1, b1) = [a, a1) [b1, b) tasvir o‘rinli hamda [a, a1) va [b1, b) lar S ga qarashli. Demak, S yarim halqa bo‘ladi. ∆ 4.6. 4.5-misolda keltirilgan sistemaning halqa bo‘la olmasligini isbotlang. Isbot. Buning uchun S sistemaning to‘plamlar simmetrik ayirmasi amaliga nisbatan yopiq emasligini ko‘rsatish yetarli. S sistemadan olingan A =[0, 5) va B =[1, 3) to‘plamlarning simmetrik ayirmasini qaraymiz. Bu holda A∆B = [0, 1)∪[3, 5) bo‘lib u S sistemaga qarashli emas. Demak, S sistema halqa bo‘la olmaydi. ∆ Endi yarim halqalarning ayrim xossalari bilan tanishib chiqamiz. 4.1-lemma. S yarim halqadan A to‘plam va o‘zaro kesishmaydigan A1,A2,…,An to‘plamlar olingan bo‘lib, ularning har biri A to‘plamda saqlansin. U holda A1,A2,…,An to‘plamlarni An+1,…A5 to‘plamlar bilan A to‘plamning chekli yoyilmasiga qadar to‘ldirish s mumkin, ya’ni A = ∪ Ak. k=1 Isbot. Lemmani matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. n =1 bo‘lganda tasdiqning to‘g‘ri ekanligi yarim halqa ta’rifidan bevosita kelib chiqadi. Faraz qilaylik, bu tasdiq n=m uchun ham to‘g‘ri bo‘lsin. Endi n = m +1 ta A1,A2,…,Am+1 to‘plamni qaraymiz, ular lemma shartlarini qanoatlantirsin. Farazimizga ko‘ra, n=m da A=A1 ∪A2 ∪…∪Am ∪B1 ∪…∪BP (4.1) tasvir o‘rinli. Bu yerda B1,…,Bp to‘plamlar S yarim halqaga qarashli. (4.1) tenglikdan Am+1 ⊂ B1 ∪B2 ∪…Bp ekanligi kelib chiqadi. Agar Bq1 = Am+1 ∩Bq, q = 1,2,…,p desak, u holda Am+1 = B11 ∪B21 ∪…Bp1 tenglik o‘rinli. Aniqlanishiga ko‘ra Bq1 ⊂ Bq bo‘ladi. Yarim halqa ta’rifiga ko‘ra Bq \Bq1 to‘plamni o‘zaro kesishmaydigan Bq2,…,Bqrq ∈ S to‘plamlarning chekli yoyilmasiga yoyish mumkin, ya’ni Bq = Bq1 ∪Bq2 ∪⋯∪Bqrq . Ravshanki, (4.1) tenglikka ko‘ra quyidagi A = A1 ∪A2 ∪⋯∪Am ∪Am+1 ∪∪p rq ∪ Bqj q=1 j=2 chekli yoyilma o‘rinli bo‘ladi. Shunday qilib, n = m +1 bo‘lganda lemma tasdig‘i to‘g‘ri ekanligi isbotlandi. Shunday ekan, ixtiyoriy n da lemma tasdig‘i o‘rinli. ∆ 4.2-lemma. S yarim halqadan olingan har qanday cheklita A1,A2,…,An to‘plamlar sistemasi uchun S da shunday o‘zaro kesishmaydigan cheklita B1,…,Bt to‘plamlar sistemasi mavjudki, har bir Ak to‘plam B1,…,Bt to‘plamlardan ba’zilari yordamida Ak = ∪ Bs , Mk ⊂ {1,2,…,t}. s∈Mk yig‘indi ko‘rinishida tasvirlanadi. Isbot. Bu lemmani ham matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz. Agar n = 1 bo‘lsa, lemma isboti ko‘rinib turibdi, chunki bu holda t = 1, B1 = A1. Faraz qilaylik, lemma tasdig‘i n=m bo‘lganda o‘rinli bo‘lsin. Endi lemma tasdig‘ining n = m +1 uchun to‘g‘riligini ko‘rsatamiz. S dan ixtiyoriy ravishda A1,A2,…Am,Am+1 to‘plamlarni olamiz. Farazimizga ko‘ra, shunday cheklita o‘zaro kesishmaydigan B1,…,Bt to‘plamlar mavjudki, A1,A2,…,Am to‘plamlar uchun Ak = ∪ Bs, k ∈ {1,2,…,m} s∈Mk chekli yoyilmalar o‘rinli va Mk ⊂ {1,2,…,t}. Endi Bs1 = Am+1 ∩Bs, s ∈{1,2,…,t} belgilashlarni kiritamiz. 4.1-lemmaga ko‘ra quyidagi chekli yoyilma o‘rinli q Am+1 = B11 ∪B21 ∪…Bt1 ∪ ∪Bp′, Bp ′ ∈ S, p = 1,2.…,q. (4.2) p=1 Yarim halqa ta’rifiga ko‘ra esa Bs = Bs1 ∪Bs2 ∪…∪Bsfs, Bsj ∈ S, chekli yoyilmalar o‘rinli. U holda k = 1,2,…,m, bo‘lganda fs Ak = ∪ ∪ Bsj s∈Mk j=1 chekli yoyilmalar o‘rinli va Bsj, Bp′, 1 ≤ s ≤ t, 1 ≤ j ≤ fs, 1 ≤ p ≤ q to‘plamlar o‘zaro kesishmaydi. Shunday qilib, Bsj,Bp′ to‘plamlar sistemasi A1,…,Am,Am+1 to‘plamlarga nisbatan lemma shartlarini qanoatlantiradi. ∆ Yarim halqadan hosil qilingan halqa. Birinchi bandda ko‘rdikki, ixtiyoriy S sistema uchun uni o‘zida saqlovchi yagona minimal halqa mavjud. Ammo ixtiyoriy S sistema uchun M(S) ni S bo‘yicha hosil qilish ancha murakkabdir. Agar S sistema yarim halqa bo‘lsa, M(S) ni hosil qilish to‘liq sharhlanishi mumkin. Bu savolga quyidagi teorema javob beradi. 4.3-teorema. Agar S yarim halqa bo‘lsa, u holda M(S) minimal n halqa Ak to‘plamlar(Ak ∈ S) bo‘yicha A = ∪ Ak chekli yoyilmaga ega k=1 bo‘lgan A to‘plamlarning X sistemasi bilan ustma-ust tushadi. Isbot. Dastlab X sistemaning halqa ekanligini ko‘rsatamiz. Agar A va B lar X ga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy elementlar bo‘lsa, u holda quyidagi chekli yoyilmalar o‘rinli n m A = ∪Ai, B = ∪Bj, Ai ∈ S, Bj ∈ S. i=1 j=1 S yarim halqa bo‘lgani uchun Cij = Ai Bj ∈S. 4.1-lemmaga ko‘ra quyidagi chekli yoyilmalar ham o‘rinli m ri n sj Ai = ∪Cij ∪∪ Dik; Bj = ∪Cij ∪∪ Ejl, (4.3) j=1 k=1 i=1 l=1 bu yerda Dik , Ejl ∈S. Hosil qilingan (4.3) tengliklardan A ∩ B va A∆B to‘plamlarning chekli yoyilmalarga egaligi A∩B = i∪=n1 j∪m=1C , A∆B = ∪n ∪ri D ∪j∪m=1l∪s=1 j Ejl ij i=1 k=1 ik va demak, A ∩ B va A∆B larning X ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak, X sistema halqa ekan va u S ni o‘zida saqlaydi. Agar M(S) sistema S ni o‘zida saqlovchi minimal halqa bo‘lsa, u holda ixtiyoriy n Download 0.82 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling