1. Funksiyani aniqlanish sohasini topish; Funksiyaning uzulish nuqtalarini aniqlash

5-teorema.Agar funksiya intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega va da bo‘lsa, u holda funksiya grafigi intervalda qavariq (botiq) bo‘ladi.
Isboti. da bo‘lsin. Funksiya grafigida abssissali ixtiyoriy nuqta olamiz (15-shakl). Funksiyaning grafigi bu urinmadan pastda yotishini ko‘rsatamiz.Buning uchun nuqtada egri chiziqning ordinatasi bilan urinmaning ordinatasini solishtiramiz.
U rinma tenglamasini tuzamiz:
yoki .
U holda
Lagranj teoremasiga ko‘ra bu yerda bilan ning orasida yotadi. Shu sababli
yoki .
ayirmaga Lagranj teoremasini takror qo‘llaymiz:
bu yerda bilan ning orasida yotadi.
Demak,
Bu tengsizlikni tekshiramiz:
1) Agar bo’lsa, u holda  , bo’ladi va yoki
2) Agar bo‘lsa, u holda , bo‘ladi va Bundan yoki
Demak, da urinmaning ordinatasi funksiya grafigining ordinatasidan katta bo‘ladi va ntervalda funksiya grafigi qavariq. da funksiya grafigi botiq bo‘lishi shu kabi isbotlanadi.
Funksiya grafigining egilish nuqtasini topish quyidagi teoremalarga asoslanadi.
6-teorema (egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti). Agar funksiya intervalda uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega va nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni , aniqlik uchun , bo‘lsin. Teoremaning shartiga ko‘ra ikkinchi tartibli hosila uzluksiz. U holda hosila nuqtaning biror atrofida musbat bo‘ladi va funksiya grafigi bu atrofda botiq bo‘ladi. Bu nuqta egilish nuqtaning abssissasi bo‘ladi mulohazasiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri va
bo‘ladigan nuqtalarning barchasi ham funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lmaydi. Masalan, funksiya grafigining nuqtasi egilish nuqta emas, ammo da .
Demak, shart egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti bo‘ladi.