1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

4-TEOREMA: Agar y=f(x) funksiya hosilasi x0 kritik nuqtaning chap va o‘ng atrofida ishorasini o‘zgartirmasa, bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘lmaydi.
Masalan, f(x)=ln(x³+1) funksiyaning hosilasi f ‘(x)=3x²/(x³+1) bo‘lib, undan x=0 kritik nuqta ekanligini ko‘ramiz. Bu kritik nuqta atrofida f ‘(x)>0 va shu sababli unda funksiya ekstremumga ega bo‘lmaydi.

Ayrim hollarda kritik nuqta atrofida f ‘(x) hosilaning ishorasini aniqlash murakkab bo‘ladi. Bunday hollarda, y=f(x) funksiya x0 kritik nuqtada ikki marta differensiallanuvchi va f ‘‘(x) bu nuqtaning biror atrofida uzluksiz bo‘lsa, quyidagi teoremadan foydalanish mumkin.

5-TEOREMA (lokal ekstremumning II yetarli sharti): Agar x0 kritik nuqtada f ‘(x0)=0 , f ‘’(x0)≠0 va chekli bo‘lsa, unda bu nuqtada y=f(x) funksiya lokal ekstremumga ega bo‘ladi. Jumladan, f ‘’(x0)<0
(f ‘’(x0)>0 ) bo‘lsa, f(x0) funksiyaning lokal maksimumi (lokal minimumi) bo‘ladi. 0 ) ( 0  ‘ ‘x f 0 ) ( 0  ‘ ‘x f 0 ) ( 0  ‘ ‘x f
Misol sifatida f(x)=x⁴–4x funksiyani ekstremumga II tartibli hosila yordamida tekshiramiz. f ‘(x)=4x³–4=4(x³–1)=0 tenglamadan funksiya yagona x0=1 kritik nuqtaga ega ekanligini aniqlaymiz. Funksiyaning II tartibli hosilasi f ‘‘(x)=12x² bu kritik nuqtada f ‘‘(1)=12>0 qiymatni qabul qiladi. Demak, berilgan funksiya x0=1 kritik nuqtada lokal minimumga ega va fmin=f(1)=1– 4=–3 bo‘ladi.
Agar x0 kritik nuqtada ikkinchi tartibli hosila f ‘‘(x0)=0 bo‘lsa, unda funksiyaning x0 nuqtada ekstremumga ega bo‘lishi yoki bo‘lmasligini 5-teorema orqali aniqlab bo‘lmaydi. Masalan, f(x)=x³ va g(x)=x⁴ funksiyalar uchun x=0 kritik nuqta bo‘ladi. Bu nuqtada II tartibli hosilalar f ‘‘(x)=6x, g’’(x)=12x² nolga tengdir. Bu kritik nuqtani birinchi tartibli hosila orqali, ya’ni 3- teorema yordamida tekshirib, unda f(x)=x³ ekstremumga ega emas, g(x)=x⁴ esa lokal minimumga ega ekanligini aniqlaymiz.
Demak, lokal ekstremumning II yetarli shartini tekshirish osonroq, ammo uning qo‘llanish sohasi torroq ekan.
Bu bo‘limni ekstremumga doir bir iqtisodiy masalani qarash bilan yakunlaymiz.