1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

5. Funksiya grafigining burilish nuqtalari. Funksiya xossalarini o‘rganish va ularni tatbiq etishda uning burilish nuqtasi tushunchasi ham muhim ahamiyatga egadir.
5-TA’RIF: Funksiya grafigi biror M(x0,f(x0)) nuqtadan o‘tayotganda botiqligini qavariqlikka yoki aksincha, qavariqligini botiqlikka o‘zgartirsa, bu nuqta uning burilish (egar) nuqtasi deyiladi.
Masalan, ko‘rib o‘tilgan f(x)=x3 funksiya uchun koordinatalar boshi O(0,0) burilish nuqtasi bo‘ladi. F(x)=x2 funksiya grafigi paraboladan iborat bo‘lib, u hamma joyda botiq va shu sababli burilish nuqtasiga ega emas. Umumiy holda y=f(x) funksiya grafigining burilish nuqtasi mavjudligi va uni topish masalasini qaraymiz.
7-TEOREMA (Burilish nuqtasi mavjudligining zaruriy sharti): Agar y=f(x) funksiya uchun M(x0,f(x0)) burilish nuqtasi va x0 nuqta hamda uning biror atrofida y=f(x) funksiya ikki marta differensiallanuvchi bo‘lsa, unda f ′′(x0)=0 tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Masalan, f(x)=sinx funksiya uchun x0=π abssissali nuqta burilish nuqtasi va unda f ‘‘(π)=–sinπ=0 bo‘ladi.
Izoh: y=f(x) funksiyaning M(x0,f(x0)) burilish nuqtasida f ′′(x0) mavjud bo‘lmasligi ham mumkin. Masalan, f(x)=x3 funksiyaga teskari g(x)=x1/3 funksiya uchun O(0,0) burilish nuqtasi bo‘ladi (65-rasmga qarang) va bu x0=0 nuqtada II tartibli hosila g′′(x)=(–2/9)x–5/3 mavjud emas.
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, f ′′(x0)=0 burilish nuqtasi mavjudligini zaruriy sharti har doim ham yetarli emas. Masalan, f(x)=x4 funksiyaning f ′′(x)=12x2 hosilasi x0=0 nuqtada nolga teng, ammo bu nuqtada funksiya grafigi burilishga ega emas. Haqiqatan ham x< x0=0 va x> x0=0 hollarda f ′′(x)=12x2>0, ya’ni bu funksiya grafigi barcha nuqtalarda botiq va shu sababli burilish nuqtasiga ega emas. Shuning uchun burilish nuqtasini aniqlashga imkon beradigan yetarli shartni topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala quyidagi teoremada o‘z yechimini topadi.