1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

II. y=f(x) funksiyaning hosilasi (a,b) oraliqdagi har bir x nuqtada f ‘(x)>0 shartni qanoatlantirsin. Bu holda, chekli orttirmalar haqidagi Lagranj teoremasiga asosan (§3, (1) formula), (a,b) oraliqdagi har qanday x1<x2 nuqtalar uchun
f(x2) –f(x1) = ( x2–x1 ) f ‘(ξ) , x1 < ξ < x2
tenglik bajariladi. Bu tenglikdan, x2–x1>0 va f ‘(ξ)>0 bo‘lgani uchun,
f(x2) –f(x1)>0  f(x2) >f(x1),
ya’ni y=f(x) funksiya (a,b) oraliqda o‘suvchi ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shunday usulda (a,b) oraliqdagi har bir x nuqtada f ‘(x) < 0 bo‘lsa, unda bu oraliqda y=f(x) funksiya kamayuvchi ekanligi ko‘rsatiladi. Teorema to‘liq isbotlandi.
1-izoh: Teoremaning I qismi (a,b) oraliq y=f(x) funksiyaning monotonlik oralig‘i bo‘lishini zaruriy, II qismi esa yetarli shartini ifodalaydi.


2-izoh: Monotonlik oralig‘ining yetarlilik sharti har doim ham uning uchun zaruriy shart bo‘lmaydi. Masalan, f(x)=e^x funksiya (–∞ , ∞) oraliqda o‘suvchi va bu oraliqda uning hosilasi f ‘(x)=e^x>0 shartni qanoatlantiradi. Ammo shu oraliqda o‘suvchi f(x)=x³ funksiyaning hosilasi f ‘(x)=3x² bu oraliqdagi x=0 nuqtada nolga teng bo‘ladi, ya’ni yetarlilik sharti f ‘(x)>0 bajarilmaydi.
Yuqoridagi teoremadan kelib chidadiki, berilgan differensiallanuvchi y=f(x) funksiyaning o‘sish yoki kamayish oraliqlarini topish uchun f ‘(x)>0 yoki f ‘(x)<0 tengsizlikni yechish kerak.
Masalan, f(x)=x+1/x funksiya uchun f ‘(x) =1–1/x²>0 tengsizlikning yechimi (–∞ , –1) U ( 1, ∞ ) sohadan iborat va shu sababli bu sohada berilgan funksiya o‘suvchi bo‘ladi. x=0 nuqtada funksiya aniqlanmaganligini hisobga olib, bu funksiya (–1, 0) U (0,1) sohada kamayuvchi ekanligini ko‘ramiz.