1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

6-TEOREMA: Agar y=f(x) funksiya (a,b) oraliqning har bir nuqtasida ikki marta differensiallanuvchi va barcha x(a, b) nuqtalarda f ‘‘(x)>0 (f ‘‘(x)<0) shart bajarilsa, funksiya grafigi bu oraliqda botiq (qavariq) bo‘ladi.
Masalan, f(x)=x3 funksiya uchun f ‘‘(x)=6x>0 tengsizlik yechimi (0,∞) oraliqdan iborat bo‘ladi va unda bu funksiya grafigi botiq bo‘ladi.Xuddi shunday f ‘‘(x)=6x<0 tengsizlik yechimi bo‘lgan (–∞, 0) oraliqda funksiya grafigi qavariq bo‘ladi (60-rasmga qarang).
Izohlar: 1. Agar biror (a,b) oraliqning har bir nuqtasida f ‘‘(x)=0 bo‘lsa, unda f(x)=Ax+B ko‘rinishda va uning grafigi to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘ladi. To‘g‘ri chiziqni qavariq ham, botiq ham deb olish mumkin.
2. II tartibli hosila ta’rifiga asosan f ‘‘(x)=[ f ‘ (x)] ‘ bo‘lgani uchun, funksiya grafigining botiqlik sohasida f ‘ (x) hosila o‘suvchi (chunki [ f ‘ (x)] ‘= f ‘‘(x)>0) va qavariqlik sohasida kamayuvchi (chunki [ f ‘ (x)] ‘= f ‘‘(x)<0) bo‘ladi.
4. Botiqlik va qavariqlikning iqtisodiy tatbiqlari. Funksiya grafigining botiqlik va qavariqligi bir qator iqtisodiy jarayonlarni tavsiflashda qo‘llaniladi.
O‘sish tezligi monoton kamayib boradigan o‘suvchi iqtisodiy jarayonlar. Bunday xususiyatli iqtisodiy jarayonlar o‘suvchi (f ‘(x)>0) va grafigi qavariq (f ‘‘(x)<0) bo‘lgan y=f(x) funksiya orqali ifodalanadi (61-rasmga qarang).
Bularga y=axα (a>0, 0<α<1)-darajali, y=alnx+b [a>0, b(–∞, ∞)] -logarifmik, y=x/(ax+b)-kasr-ratsional funksiyalar misol bo‘ladi.
Masalan, monopoliyalashgan bozor sharoitida sotilgan mahsulot hajmi x oshib borishi bilan uning tushumi y ham o‘sib boradi, ammo talab qonuni ta’sirida uning o‘sish tezligi kamayib boradi.
O‘sish tezligi monoton o‘sib boradigan o‘suvchi iqtisodiy jarayonlar. Bunday iqtisodiy jarayonlar o‘suvchi (f ‘(x)>0) va grafigi botiq bo‘lgan (f ‘‘(x)>0) y=f(x) funksiya orqali ifodalanadi (62-rasmga qarang).
Bularga y=axα (a>0, α>1)-darajali, y=ax2+bx+c (a>0)-kvadratik , y=aekx (a>0, k>0)- ko‘rsatkichli funksiyalar misol bo‘la oladi.
Masalan, mikroiqtisodiyotda sarflangan resurslar miqdori x va ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi y orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi y=f(x) ishlab chiqarish funksiyasi ishlab chiqarish jarayonining boshlang‘ich bosqichida, ya’ni x qiymati kichik bo‘lganda, yoki samaradorligi yuqoriroq bo‘lgan yangi texnologiyalarni joriy etish natijasida yuqorida ko‘rsatilgan xususiyatga ega bo‘ladi.
O‘sish tezligi monoton o‘sib boradigan kamayuvchi iqtisodiy jarayonlar. Bunday xossali iqtisodiy jarayonlar kamayuvchi (f ‘(x)<0) va grafigi botiq (f ‘‘(x)>0) bo‘lgan y=f(x) funksiya orqali ifodalanadi (63-rasmga qarang).
Bularga y=axα (a>0, α<0)-darajali, y=aekx+b (a>0, b≥0, k<0)- ko‘rsatkichli, y=x/(ax–b) (a>0, b>0)-kasr-ratsional funksiyalar misol bo‘ladi.
Masalan, xodimlarni boshqarish nazariyasidan ma’lumki, ish haqi x kattaligini oshirish natijasida xodimlarning mehnat unumdorligi y ma’lum bir paytgacha o‘sib boradi. Ammo x ish haqi oshib borgan sari mehnat sur’ati ham kattalashib boradi va shu tufayli ish haqining keyingi qo‘shimcha Δx o‘sishi mehnat unumdorligini Δy miqdorga o‘zgarishiga ta’siri tobora kamayib boradi.
O‘sish tezligi monoton kamayib boradigan kamayuvchi iqtisodiy jarayonlar. Bunday iqtisodiy jarayonlar kamayuvchi (f ‘(x)<0) va grafigi qavariq (f ‘‘(x)<0) bo‘lgan y=f(x) funksiya orqali ifodalanadi (64-rasmga qarang).