1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

8-TEOREMA (Burilish nuqtasi mavjudligining yetarli sharti): Agar biror x0 nuqtada y=f(x) funksiyaning II tartibli hosilasi f ‘‘(x0)=0 yoki mavjud bo‘lmasa va bu nuqta biror atrofining chap va o‘ng tomonida f ‘‘(x) turli ishorali qiymatlarga ega bo‘lsa, unda M(x0, f(x0)) funksiya grafigining burilish nuqtasi bo‘ladi.
Misol sifatida f(x)=x3–3x2 funksiya grafigining burilish nuqtasini topamiz. Bu yerda f ‘‘(x)=6x–6=0 tenglamadan x0=1 nuqtani topamiz. Bu nuqtani tekshiramiz. Bunda x<x0=1 118

bo‘lganda f ‘‘(x)<0 (grafik qavariq) va x>x0=1 bo‘lganda f ‘‘(x)>0 (grafik botiq) bo‘lgani uchun M(1,–2) funksiya grafigining burilish nuqtasi bo‘ladi.

Funksiya grafigining asimptotalari. Biz II tartibli egri chiziq bo‘lgan giperbola bilan tanishganimizda uning asimptotasi (V bob,§4, (2)) haqida so‘z yuritgan edik. Unda bu tushuncha aniq bir ta’rif orqali berilmagan , chunki buning uchun yetarli ma’lumotlar poydevori mavjud emas edi.
6-TA’RIF: Biror y=kx+b tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziq va y=f(x) funksiya grafigi bilan ifodalaydigan egri chiziq uchun
(2)  0 ) ( lim     b kx x f x
shart bajarilsa, unda y=kx+b to‘g‘ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining og‘ma asimptotasi deyiladi (67-rasmga qarang).
Masalan, f(x)=x+1/x funksiya grafigi uchun y=x to‘g‘ri chiziq og‘ma asimptota bo‘ladi, chunki
.   0 1 lim ] 1 [ lim) ( lim          x x x x x x f x x x
7-TA’RIF: Agar biror x=a nuqtada y=f(x) funksiyaning
) ( lim , ) ( lim 0 0 x f x f axax  
chap va o‘ng limitlaridan kamida bittasi cheksiz bo‘lsa, unda x=a tenglamali vertikal to‘g‘ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining vertikal asimptotasi deyiladi (68-rasmga qarang).

Odatda vertikal asimptotalar funksiyaning aniqlanish sohasi bo‘yicha uning uzilish nuqtalari orqali topiladi. Masalan, f(x)=1/(x³–1) funksiya grafigi uchun x=1 to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota bo‘ladi.

Funksiyaning og‘ma asimptotalarining mavjudligi va ularning tenglamasi quyidagi teorema bilan aniqlanadi.