1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

2. Funksiyaning lokal ekstremumlari. Biz biror ishlab chiqarishni tashkil etayotganimizda mahsulot ishlab chiqarish xarajatlarini iloji boricha kamaytirish (minimallashtirish) va mahsulot ishlab chiqarishdan olinadigan foydani iloji boricha ko‘paytirish (maksimallashtirish) masalasini yechishga harakat qilamiz. Bu kabi masalalar funksiyani ekstremumlari tushunchasiga olib keladi.
2-TA’RIF: Berilgan y=f(x) funksiya x0 nuqta va uning biror atrofida aniqlangan bo‘lib, bu atrofdagi ixtiyoriy x nuqta uchun f(x0)≥ f(x) [f(x0) ≤ f(x)] shartni qanoatlantirsa, u shu x0 nuqtada lokal maksimumga (minimumga) ega deb ataladi.
Masalan, f(x)=sinx funksiya x=π/2 nuqtada sin(π/2)=1 lokal maksimumga, x=3π/2 nuqtada esa sin(3π/2)=–1 lokal minimumga ega bo‘ladi.
Funksiyaning lokal maksimum va minimum qiymatlari birgalikda uning lokal ekstremumlari deyiladi. Lokal ekstremumning zaruriy sharti quyidagi Ferma teoremasi orqali ifodalanadi.
2-TEOREMA: (Ferma teoremasi): Agar y=f(x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi va lokal ekstremumga ega bo‘lsa, unda bu nuqtada funksiyaning hosilasi f ‘(x0)=0 shartni qanoatlantiradi.
Masalan, f(x) =sinx funksiya x0=π/2 nuqtada lokal maksimumga ega va bu nuqtada uning hosilasi
f ‘(π/2)=cos (π/2)=0 tenglikni qanoatlantiradi.
Ferma teoremasining bir iqtisodiy talqinini keltiramiz. Ishlab chiqarish nazariyasining asosiy qonunlaridan biri quyidagicha ifodalanadi: ishlab chiqarishda mahsulotning optimal (maqsadga muvofiq, eng qulay) hajmi limitik xarajat MS va limitik daromad MD tengligi bilan aniqlanadi. Demak, mahsulotning x0 optimal hajmi MS(x0)=MD(x0) tenglamadan topiladi. Bu tasdiq bevosita Ferma teoremasidan kelib chiqadi. Haqiqatan ham, korxonaning x hajmdagi mahsulot ishlab chiqarishdagi xarajatlari S(x), daromadi D(x) bo‘lsa, unda uning olgan foydasi F(x)=D(x)–S(x) funksiya bilan aniqlanadi.Bu holda mahsulotning optimal hajmi x0 foyda F(x) maksimal bo‘ladigan nuqta kabi aniqlanadi. Buning uchun, Ferma teoremasiga asosan,
F′( x0)=0 => D′(x0)–S′(x0)=0 => D′(x0)=S′(x0) => MS(x0)=MD(x0)
tenglik, ya’ni yuqorida keltirilgan iqtisodiy qonun bajarilishi kerak.
Funksiya f ‘(x)=0 shartni qanoatlantiruvchi nuqtalardan boshqa nuqtada ham lokal ekstrmumga ega bo‘lishi mumkin. Masalan, f(x)=|x| funksiya x=0 nuqtada minimumga ega (57-rasmga qarang), ammo bu nuqtada uning hosilasi mavjud emas.