1. Funksiyaning monotonlik oraliqlari. Funksiyaning lokal ekstremumlari

6. Funksiyani tekshirishning umumiy sxemasi. Yuqorida olingan natijalar bo‘yicha y=f(x) funksiya xususiyatlarini quyidagi tartibda aniqlash mumkin ;
Funksiyaning D{f} aniqlanish sohasini topamiz ;
Funksiyaning E{f} qiymatlar sohasini topishga harakat qilamiz. Bu sohani to‘g‘ridan-to‘g‘ri topish qiyin bo‘lsa, uni funksiyaning keyingi qadamlarda aniqlanadigan xususiyatlaridan foydalanib aniqlash mumkin ;
Funksiyani juft yoki toqlikka tekshiramiz ;
Funksiyani davriylikka tekshiramiz va u davriy bo‘lsa, uning davrini aniqlaymiz;
Funksiyani uzilish nuqtalari mavjudligini tekshiramiz va ular mavjud bo‘lsa, ularning turini aniqlaymiz ;
f(x) =0 tenglamadan funksiya nollarini topamiz va ular orqali funksiya o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan oraliqlarni hamda funksiya grafigini OX o‘qi bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz
f ′(x)>0 va f ′(x)<0 tengsizliklarni yechib, funksiyaning o‘sish va kamayish, ya’ni monotonlik sohalarini aniqlaymiz ;
f ‘(x) =0 yoki f ‘(x) mavjud emas shartlardan funksiyaning kritik nuqtalarni topamiz va bu nuqtalarda funksiyani I yoki II tartibli hosila yordamida ekstremumga tekshiramiz ;
f ‘‘(x)>0 va f ‘‘(x)<0 tengsizliklarni yechib, funksiya grafigining botiqlik va qavariqlik sohalarini topamiz ;
f ‘‘(x)= 0 yoki f ‘‘(x) mavjud emas shartlardan foydalanib funksiya grafigining burilish nuqtalarini aniqlaymiz ;
Funksiya grafigi asimptotalarini, agarda ular mavjud bo‘lsa, topamiz ;
Argument x→±∞ bo‘lganda funksiya limitini tekshiramiz;
Oldingi qadamlarda olingan ma’lumotlar asosida funksiya grafigini chizamiz .
7. Funksiyaning global ekstremumlari. Berilgan y=f(x) funksiya biror [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Unda, Veyershtrass teoremasiga (VII bob,§4) asosan, funksiya bu kesmadagi qandaydir x1 va x2 nuqtalarda o‘zining eng katta va eng kichik
max f(x)=f(x₁)=M min f(x)=f(x₂)=m
x€[a,b] x€[a,b]
qiymatlarini qabul etadi. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmadagi biror x0 nuqtada lokal ekstremumga ega bo‘lsa, unda f(x)≤f(x0) yoki f(x)≥f(x0) tengsizliklardan biri x0 nuqtaning biror atrofidagi x nuqtalar uchun bajarilib, barcha x[a,b] uchun o‘rinli bo‘lmasligi ham mumkin. Shu sababli ular lokal (tor doiradagi) ekstremumlar deyiladi. Ammo M=f(x1)≥f(x) , m=f(x2)≤f(x) tengsizliklar barcha x[a,b] uchun o‘rinli bo‘ladi va shu sababli ular mos ravishda y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi global maksimumi (M) va global minimumi (m), birgalikda global (keng doiradagi) ekstremumlari deyiladi.
Veyershtrass teoremasida kesmada uzluksiz funksiyalar uchun global ekstremumlar mavjudligi tasdiqlanadi, ammo ularni qanday topish masalasi qaralmaydi. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesma ichida differensiallanuvchi bo‘lsa, bu masala quyidagi algoritm asosida hal etiladi:
Berilgan funksiyaning f ′(x) hosilasi hisoblanadi ;
f ′(x)=0 tenglamadan [a,b] kesma ichida joylashgan x1, x2, ... , xn kritik nuqtalar topiladi;
Berilgan funksiyaning kritik nuqtalardagi f(x1), f(x2), ... , f(xn) va kesma chegaralaridagi f(a), f(b) qiymatlari hisoblanadi;
Yuqorida hisoblangan funksiya qiymatlari orasidan eng katta va eng kichigi topiladi. Ular biz izlayotgan m va M global ekstremumlarni ifodalaydi.

Misol sifatida f(x)=x⁴–2x²+3 funksiyaning [–3,2] kesmadagi global ekstremumlarini topamiz. Buning uchun dastlab f ′(x)=4x(x²–1)=0 tenglamadan x₁=–1, x₂=0 va x₃=1 kritik nuqtalarni topamiz. Ularning uchalasi ham biz qarayotgan [–3,2] kesma ichida joylashgan va shu sababli bu nuqtalarning barchasini qaraymiz. Kritik va chegaraviy nuqtalarda berilgan funksiya qiymatlarini hisoblab,

f(–3)=66, f(–1)= f(1)=2, f(0)=3, f(2)=11
natijalarni olamiz. Bu natijalarni taqqoslab, berilgan funksiyaning global ekstremumlari
M= max f(x)=f(-3)=66 min f(x)=f(±1)=2
x€[-3;2] x€[-3;2]
ekanligini aniqlaymiz.