1-ma’ruza: Chiziqli algebra

Transponirlangan matritsa A matritsaning determinantini hisoblaganda biz ixtiyoriy satr yo ustun elementlarini ularning mos algebraik to‘ldiruvchisiga ko‘paytirib qo‘shib chiqdik. Agar ixtiyoriy satr elementlarining moslariga ko‘paytirib qo‘shib chiqsak natija 0 ga teng bo‘ladi. Bu natija ustunlar uchun ham to‘gri .Balki hususiy holda isbotlaymiz.
4-misol. (Algebraik to‘ldiruvchini ko‘paytirish)
(3x3) o‘lchovli A matritsa umumiy holda berilgan bo‘lsin

A matritsaning bitta satrini boshqa satri algebraic to‘ldiruvchiga ko‘paytmasi nimaga teng?
Yechish.Avval algebraic to‘ldiruvchilar funksiyasi yordamida algebraic to‘ldiruvchilar matritsasini tuzib olamiz

Agar biz dastlabki matritsaning 1-satrini hosil bo‘lgan matritsa 1-satriga ko‘paytirsak quyidagiga ega bo‘lamiz:

Agar biz hosil bo‘lgan matritsaning satrini o‘zgartirsak quyidagi natijalarga ega bo‘lamiz:


Bu esa algebraik to‘ldiruvchining bir qiymatli aniqlanishini bildiradi. Bu natijadan biz teskari matritsani topishda foydalanamiz.
Transponirlangan matritsa
2– ta’rif.A (nxn) o‘lchovli matritsa bo‘lsin, u holda

Matritsa A matritsaning algebraic to‘ldiruvchilaridan tuzilgan matritsa deyiladi. Bu matritsaning transponirlangani A matritsaga qo‘shma deyiladi va quyidagicha belgilanadi A^T. A matritsa berilgan bo‘lsin

Algebraik to‘ldiruvchilari va qo‘shmasini toping.
Yechish. Algebraik to‘ldiruvchilardan tuzilgan matritsa quyidagicha bo‘ladi

Uning transponirlangan matritsasini topamiz

Endi bu matritsaga teskari matritsani topish formulasini chiqaramiz. Buning uchun keyin isbotlanadigan quyidagi tasdiqdan foydalanamiz: A matritsaga teskari matritsa faqat va faqat det(A)≠0 bo‘lgandagina mavjud.
2-Teorema.(Teskari matritsa) Agar A matritsaga teskari matritsa mavjud bo‘lsa u quyidagiga teng:
A^-1=A^T
Isboti.det(A)skalyar miqdor bo‘lgani uchun quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
det(A) A^-1= A^T
Bu tenglikning ikkala tomonini chap tomondan A matritsaga ko‘paytiramiz:
det(A) AA^-1=A A^T
det(A) I =AA^T
Endi tenglikning o‘ng tomonini ko‘paytiramiz

A A^T ning i-satri va j-ustuni elementlari quyidagicha bo‘ladi:

Agar i=j bo‘lsa, u holda bu yoyilma det(A) ning algebraic to‘ldiruvchilari bo‘lib qoladi. Agar i≠j bo‘lsa, u holda matritsaning elementlari va algebraic to‘ldiruvchilari turli satrdan bo‘ladi va yoyilma 0 ga teng.
Demak,
AA^T= = det(A)A
A matritsaning teskarisi mavjud det(A)≠0. Shuning uchun quyidagicha yozish mumkin
A^T = I yokiA A^T ) = I va nihoyat
(A^T)=A^-1
Bu natijani (3x3) matritsa uchun quyidagicha tekshirib ko‘rish mumkin:

Algebraik to‘ldiruvchilarni topamiz

va transportirlangan matritsaga ko‘paytiramiz, natijada

va det(A).I₃ ni topdik.
6-misol. A^T bo‘yicha A matritsaning teskari matritsasini toping.
A.A^-1=I tenglik orqali tekshiring.

Yechish. Berilgan matritsaning determinanti
detA=|A|-34
0 ga teng emas, demak A ning teskari matritsasi mavjud