1-Ma’ruza Kombinatorika elementlari. Ehtimolning klassik ta’rifi. Geometrik ehtimol. Shartli ehtimol. To’la ehtimol formulasi. Bayyes formulasi Bernulli sxemasi. Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari Ma’ruza rejasi

5-Teorema.
marta tajriba o’tkazilganda hodisa
̅̅̅̅̅ marta yuz berishining 
( ) ehtimoli Bernulli formulasi deb ataluvchi ushbu 
( )
(19) 
formula bilan hisoblanadi. 
Bernulli formulasidan ikkita muhim natija kelib chiqadi. 
1. 
marta tajriba o’tkazilganda hodisa kamida
marta va ko’pi bilan 
marta yuz berish ehtimoli 
( 
)
(20) 
formula bilan hisoblanadi. 
2. 
va
bo’lgan xususiy holda (18.26) formuladan marta 
tajriba o’tkazilganda 
hodisa kamida marta yuz berish ehtimoli uchun 
( )
(21) 
formulani hosil qilamiz. 
16-Misol. O’yin toshi 8 marta tashlandi. Toshning ustki qismiga 6 raqamining:
1) 3 marta; 
2) ko’pi bilan 3 marta; 
3) kamida bir marta tushish ehtimollarini hisoblaymiz. 
►1) Bu yerda 
va bo’ladi, u holda (18.25) Benulli formulasiga 
ko’ra 
( )
(
)
(
)
2) 
va
va (18.26) formulaga ko’ra 

---

17 
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3) (21) formulaga ko’ra 
( ) (
)
talab qilingan ehtimollarni topdik.◄ 
Agar 
( ) ehtimol
bo’lganda eng katta qiymatni qabul qilsa, ya’ni 
k
quymatlarda 
( 
)
( ) tengsizlik o’rinli bo’lsa,
soni 
marta tajriba o’tkazilganda hodisa yuz berishlarining eng ehtimolli soni deb 
ataladi. 
Endi ana shu eng ehtimolli sonni topamiz. Buning uchun 
( ) va
( ) 
ehtimollarning nisbatini qaraylik: 
( )
( )
( ) ( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
tenglikka ega bo’ldik. Shuning uchun bu tengsizlikdan agar (
) ( )
ya’ni 
bo’lsa,
( )
( ) bo’lishi, agar bo’lsa 
( )
( ) bo’lishi va nihoyat bo’lsa
( )
( ) bo’lishi 
kelib chiqadi. 
Ko’rinib turibdiki 
( ) ehtimollik yuz berishlar soni osishi bilan o’sib 
boradi, so’ngra u o’zining maksimum qiymatiga erishadi va nihoyat kamayib boradi. 
Shuning bilan birga agar 
butun son bo’lsa,
( ) ehtimol ning ikkita 
qiymatida, aniqrog’i 
va
bo’lganda 
maksimal qiymatga erishadi. Agarda 
butun son bo’lmasa
( ) ehtimollik 
sondan katta eng kichik butun sonda maksimal qiymatga erishadi. Shunday 
qilib, 
marta tajriba o’tkazilganda hodisa yuz berishlarning eng ehtimolli
soni 

---

18 
(22) 
tengsizlik orqali aniqlanar ekan. 
17-Misol. Teng kuchli raqibni to’rt partiyadan uchtasida yutishmi yoki sakkiz 
partiyadan beshtasida yutish ehtimollimi? Bu yerda partiyada durang natija istisno 
qilinadi deb faraz qilinadi. 
►Masala shartiga ko’ra raqiblar teng kuchli, shuning uchun har bir partiyada yutish 
ham yutqazish ham teng: 
To’rt partiyadan uchtasida yutish ehtimoli 
Bernulli formulasiga ko’ra hisoblaymiz: 
( )
Xuddi shu singari sakkiz partiyadan beshtasida yutish ehtimolligini hisoblaymiz: 
( )
bo’lganligi uchun, to’rt partiyadan uchtasida yutish ehtimolliroq.◄