1-Ma’ruza Mavzu: To‘plamlar. To‘plamlar ustida amallar. Akslantirishlar. Ekvivalentlik munosabatlari. Sanoqli to‘plamlar. To‘plamlarning ekvivalentligi. Reja

2-teorema. va to‘plamlar kesishmasining asli shu to‘plamlar asllari kesishmasiga teng, ya’ni



Isbot. ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda yoki va . Shunday ekan, va , ya’ni . Demak, .

Endi bo‘lsin, u holda va .

Bundan va ga yoki ga ega bo‘lamiz. Demak, . Bu yerdan munosabat kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.

Agar to‘plamdagi har bir elementning asli bo‘sh to‘plam bo‘lmasa, ya’ni bo‘lsa, u holda ga ustiga akslantirish yoki sur’yektiv akslantirish deyiladi. Agar to‘plamda shunday element mavjud bo‘lib, uning asli bo‘sh to‘plam bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa , u holda ga ichiga akslantirish deyiladi.

Misol uchun ni ga o‘tkazuvchi ,

Funksiyalarning birinchisi ustiga akslantirish, ikkinchisi esa ichiga akslantirish bo‘ladi.

Agar akslantirishda bo‘lgan ixtiyoriy lar uchun munosabat bajarilsa, u holda ga in’yektiv akslantirish deyiladi.

Agar akslantirish ham sur’yektiv, ham in’yektiv bo‘lsa, u holda ga o‘zaro bir qiymatli akslantirish yoki biyektiv akslantirish deyiladi.

Misollar. 1. funksiya ni ga o‘zaro bir qiymatli akslantiradi.

2. 
   orqali manfiy bo‘lmagan haqiqiy sonlar to‘plamini belgilaymiz. funksiya ni ga ga o‘zaro bir qiymatli akslantirmaydi. Chunki , masalan -1 va 1 sonlarining tasviri 1 ga teng.
   

Bu yerda ga akslantirishning aniqlanish sohasi deyiladi va kabi belgilanadi.

Ushbu to‘plamiga akslantirishning qiymatlar sohasi deyiladi va yoki kabi belgilanadi.

Ushbu to‘plamga akslantirishning grafigi deyiladi.

Elementlarning soni chekli bo‘lgan to‘plam chekli to‘plam deyiladi. Agar to‘plamdan bitta, ikkita va hokazo elementlarni olganda unda yana ko‘plab elementlar qolaversa, u holda bunday to‘plamlarga cheksiz to‘plamlar deyiladi.

12-ta’rif. Agar va to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lsa, u holda va to‘plamlar ekvivalent yoki teng quvvatli to‘plamlar deyiladi va kabi yoziladi.

13-ta’rif. Biror to‘plamning elementlari orasida berilgan qandaydir munosabat

1) refleksivlik:

2) simmetriklik: bo‘lsa u holda bo‘ladi;

3) tranzitivlik: bo‘lsa, u holda kabi shartlarni qanoatlantirsa, to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan deyiladi.

3-teorema. To‘plamlar orasidagi teng quvvatlilik munosabati ekvivalentlik munosabati bo‘ladi.

Isbot. Ta’rifdagi 1)-3) tasdiqlardan quyidagi xossalar o‘rinliligi kelib chiqadi:

a) ;

b) Agar bo‘lsa, u holda ;

c) Agar va bo‘lsa, u holda .

Bu esa teng quvvatlilik munosabati refleksivlik, simmetriklik va tranzitivlik xossalariga ega, ya’ni ekvivalentlik munosabati ekan. Teorema isbot bo‘ldi.

Agar va elementlari soni chekli bo‘lgan to‘plamlar bo‘lsa, ularning

ekvivalentligi elementlari soni tengligi bilan bir xil bo‘ladi.