1-Ma’ruza Mavzu: To‘plamlar. To‘plamlar ustida amallar. Akslantirishlar. Ekvivalentlik munosabatlari. Sanoqli to‘plamlar. To‘plamlarning ekvivalentligi. Reja

5. Kantor-Bernshteyn teoremasi.

2- teorema. (Kantor- Bernshteyn) Ixtiyoriy va cheksiz to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar to‘plamni to‘plamning qismiga biyektiv akslantiruvchi akslantirish va to‘plamning to‘plamning qism to‘plamiga biyektiv akslantiruvchi akslantirish mavjud bo‘lsa, u holda va to‘plamlar ekvivalentdir.

Isbot. Umumiylikni buzmagan holda va to‘plamlar kesishmaydi deb faraz qilamiz. Ixtiyoriy elementni olamiz va ketma - ketlikni quyidagicha aniqlaymiz. Agar to‘plamga shartni qanoatlantiruvchi element mavjud bo‘lsa, uni bilan belgilaymiz. Agar to‘plamga tenglikni qanoatlantiruvchi element mavjud bo‘lsa, uni bilan belgilaymiz. Aytaylik, element aniqlangan bo‘lsin. Agar juft bo‘lsa, u holda orqali dagi shunday elementni tanlaymizki, shart bajarilsin, agar toq bo‘lsa, dagi shunday elementki, shart bajarilsin. Bu erda 2 hol bo‘lishi mumkin.

1. Biror ga ko ‘paytirilgan shartni qanoatlantiruvchi element mavjud bo‘lmaydi. Bu holda nomer elementning tartib soni deyiladi.

2. Cheksiz ketma - ketlikga ega bo‘lamiz. Bu holda elementning tartibi cheksiz deyiladi.

Endi to‘plamni uchta to‘plamga ajratamiz. Juft tartibli elementlardan tashkil topgan, qism to‘plamini orqali, toq tartibli elementlardan tashkil topgan qism to‘plamni orqali va cheksiz tartibli elementlardan tashkil topgan qism to‘plamni bilan belgilaymiz. to‘plamni ham xuddi shunday qismlarga ajratamiz. Ko ‘rinib turibdiki, ni ga va ni ga akslantiradi, akslantirish esa ni ga akslantiradi. Shunday qilib



akslantirish to‘plamni to‘plamga biektiv akslantiriladi. Teorema isbotlandi.
O‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar.

1. 
   To‘plam deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   To‘plamlar ustida qanday amallar bajariladi?
   
3. 
   Akslantirish deb nimaga aytiladi?
   
4. 
   Ekvivalent to‘plam deb qanday to‘plamga aytiladi?
   
5. 
   Akslantirish deb nimaga aytiladi?
   
6. 
   Sanoqli to‘plam deb qanday to‘plamga aytiladi?
   
7. 
   Ekvivalent to‘plam deb qanday to‘plamga aytiladi?
   
8. 
   Kantor Bernshteyn teoremasini ayting?