1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

3-masala: Berilgan burchakni teng ikkiga bo`ling, ya`ni burchakning bissektrisasini chizing.
ANALIZ. NOM burchakni teng ikkiga bo`luvchi OP nur topildi deb faraz qilaylik.
3.6 - chizma 3.7- chizma
Bu farazga binoan quyidagi tengliklar to`g`rib o`ladi:
∠MOP = ∠NOP = _{ } (1)
OP nurning ixtiyoriy C nuqtasidan berilgan burchakning tomonlariga perpendikulyar o`tkazaylik.(3.7. chizma)
CA <sub> </sub>OM va CB⊥ON. (2)
(A va B nuqtalar – burchak tomonlari bilan perpendikulyarning kesishish nuqtalari). Hosil bo`lgan ikkita to`g`ri burchakli OAC va OBC uchburchaklar o`zaro teng, chunki ularda OC gipotenuza umumiy va farazimizga binoan bittadan o`tkir burchaklari o`zaro teng (∠1=∠2). Shuning uchun:
OA= OB va AC= BC (3)
Demak, A va B nuqtalar berilgan burchakning O uchidan teng uzoqlikda, C nuqta esa AB kesmaning o`rta perpendikulyarida yotadi. C nuqtaning bu xossasidan OP nurni yasash yo`li ma`lum bo`ladi.
C nuqta OP nurning ixtiyoriy nuqtasi bo`lgani uchun quyidagi xulosaga kelamiz burchakning bissektrisasidagi nuqta shu burchak tomonlaridan teng masofada yotadi (to`g`ri teorema).
YASASH.
1) berilgan burchakning O uchini markaz qilib, ixtiyoriy radius bilan yoy chiziladi(4.1 chizma). bu yoy burchak tomonlarini A va B nuqtalarda kesib o`tadi.

2. 
   
   AB kesmani teng ikkiga bo`lish uchun uning o`rta perpendikulyarida yotuvchi C va _{ } nuqtalar topiladi.
   
3. 
   
   C va _{ } nuqtalardan to`g`ri chiziq o`tkaziladi.
   

Eslatma: Odatda bunda aytilgan ikki nuqtadan birini topib, uni berilgan burchakning O uchi bilan tutashtirib, izlanuvchi bissektrisa hosil qilinadi.
To`g`irlash metodi.
Bir to`g`ri chiziqda yotmagan kesmalarning, masalan siniq chiziq bo`g`inlarining algebraik yig`indisiga teng kesma yasash, kesmalarni to`g`irlash deb ataladi. To`g`irlashdan foydalanib masala yechish yasashda to`g`irlash metodi deyiladi.
To`g`irlash metodi bilan masala yechishda yuqorida ko`rilgan bosqichlab yechish usulidan to`la foydalaniladi.
Yasashga doir masaladagi ma`lum elementlar qatorida izlangan figura chiziqli noma`lum elementlarning yig`indisi yoki ayirmasi berilgan bo`lsa, bunday masala to`g`irlash metodi bilan oson yechiladi.
4-masala: Asosi unga yopishgan bir burchagi va yon tomonlarining ayirmasi berilgan uchburchak yasang.
Bu masalani yechishda quyidagi ikki holni qaraymiz.

1. 
   
   Asosidagi burchaklarini kichigi berilgan hol.
   
2. 
   
   Asosidagi burchaklardan kattasi berilgan hol.
   

Birinchi hol.
ANALIZ. Izlangan uchburchak 3.8 - chizmadagi ABC uchburchak deb faraz qilinadi.
Berilgan r kesmani (ayirmani) bu uchburchakda ko`rsatish uchun uning AC tomoni ustiga (A uchidsn boshlab) AB=AD tomonini qo`yamiz, bunda AC-AB=AC-AD=DC=r hosil bo`ladi.
3.8 -chizma 3.9 -chizma

D nuqtani B nuqta bilan tutashtirishdan hosil bo`lgan BCD uchburchakning yordamchi figura bo`la olishini isbot qilamiz.
Berilgan BC=a, CD=r tomonlar va ular orasidagi C burchak bo`yicha BCD ucburchak yasash mumkin.
Bu BCD uchburchak yordamida izlanuvchi ABC uchburchakni yasash mumkin; buning uchun ABC uchburchakning A uchini toppish kerak. A nuqta ayni vaqtda teng yonli BAD uchburchakning uchidir. Bu uchburchakning uchini toppish uchun BD kesmaning o`rta perpendikulyari (MN) ni chizib, uni CD ning davomi bilan kesishtiramiz; topilgan A nuqtani B nuqta bilan tutashtirsak, izlanuvchi ABC uchburchak hosil bo`ladi.
YASASH. Analizda tuzilgan plan bo`yicha yasasak 3.9 -chizmadagi ABC uchburchak hosil bo`ladi (yasash tartibi chizmada raqamlar bilan ko`rsatilgan).
ISBOT. 3.9-chizmada yasalgan ABC uchburchak masalaning talabiga javob beradi, chunki yasalishicha BC=_{ } ∠ACB=∠C=_{ } bo`lib, AB=AD, ya`ni AC-AB=AC-AD=DC=r.
TEKSHIRISH. Izlanuvchi ABC uchburchakning mavjud bo`lish bo`lmasligi A uchining mavjudligiga bog`liqdir. A nuqtaning mavjudligi esa BD kesmaning o`rta perpendikulyari MN to`g`ri chiziq bilan CD kesma davomining kesishish yoki kesishmasligiga bog`liq; bu esa ABC uchburchakning B uchidan AC tomoniga BH perpendikulyar tushirishdan hosil bo`lgan to`g`ri burchakli BHC uchburchakning CH kateti bilan CD=r kesmaning hamda r bilan _{ } kesmning nisbiy qiymatlariga bog`liqdir. To`g`ri burchakli uchburchakning CH=_{ } munosabatni yozib, quyidagi xollarni qaraymiz.

3.10-chizma

1. 
   
   Agar 3.9 -chizmadagi kabi CD < CH, ya`ni r < <sub> </sub> bo`lsa, MN o`rta perpendikulyar CD ning davomi bilan biror nuqtada kesishib, izlangan A nuqtani hosil qiladi; bu ikki to`g`ri chiziqning kesishuvini to`g`ri burchakli BHD uchburchakdagi BDH burchakningo`tkir burchak bo`lishi bilan asoslash mumkin.
   

Demak, bu holda masala yechiladi va bitta uchburchak hosil bo`ladi.

2. 
   
   Agar, CD=CH, ya`ni <sub> </sub> bo`lsa, BD tomon BH bo`ladi. Shuning uchun MN o`rta perpendikulyar bilan CD tomonining davomi o`zaro kesishmaydi; demak, bu holda masala yechimga ega bo`lmaydi.
   
3. 
   
   Agar 3.10- chizmadagi singari CH 
   Agar r > α bo`lsa, uchburchak hosil bo`lmaydi, chunki bus hart uchburchakning mavjudlik shartiga to`g`ri kelmaydi.
   

Ikkinchi hol.
ANALIZ. Izlanuvchi uchburchak topildi deb faraz qilib, taxminan 3.8- chizmadagi ABC uchburchakni chizib qo`yaylik. Bunda berilganlardan AC-AB= b-c=r kesmani chizmada ko`rsatish uchun(birinchi holdagi singari) AB tomonni AC tomon ustiga uning A uchidan boshlab qo`ysak, AC-AB=AC-AD=DC=r hosil bo`ladi.