1-ma’ruza: Pedagogika otmda geometriyani o’qitish nazariy masalalari: Evklidga qadar geometriya. Evklidning “Negizlar” asari. Evklidning V postulati va uni isbotlashga urinishlar. Evklid va Lobachevskiy geometriyalari qiyosiy tahlili

ISBOT. Yasashga ko`ra quyidagilar ma`lum:
BM = MX = XC;
DN = NY = YC.
Budan:
BX = 2 XC, DY = 2 YC. (7)

(7)dan ABX uchburchakning yuzi _{ } AXC uchburchakning yuzi _{ } dan ikki marta katta. ADY uchburchakning yuzi _{ } esa AYC uchurburchakning yuzi _{ } dan ikki marta katta ekanligi ravshan:

_{ } = 2 _{   } = 2 _{ } . (8)
Parallelogramning AC dioganali uni teng ikki uchburchakka bo`lishini e`tiborga olib, quyidagilarni yoza olamiz:
△ AB_{ } = △ AD_{ }
Bundan;

_{ } + _{ } = _{ } + _{ } (9)
Agar _{ } va _{ } ning (8) dagi qiymatlarini (9) ga qo`ysak, quyidagi tenglikka ega bo`lamiz:
2_{ } + _{ } = 2_{ } + _{ } ; 3 _{ } = 3 _{ }
Bundan:

_{ } = _{ } (10)
Bundan tashqari, (8) dan _{ } = 2 _{   } = 2 _{ } va (10) dan _{ } = _{ } bo`lgani uchun


_{ } = _{ } (11)
Chizmadan esa _{ } + _{ } = _{ } (8) va (11) da


_{ } = _{ } = _{   } = _{   }
Demak,

_{ }= _{ }=_{ }
TEKSHIRISH. Berilgan parallellogrammning shakli va kattaligi har qanday bo`lsa ham bu masala yechimga ega bo`ladi, chunki parallellogrammning tomonlarini hamma vaqt teng uch bo`lakka bo`lish mumkin va tomonning uchdan bit bo`lagini ko`rsatuvchi nuqta bitta bo`lgani uchun yechim ham bitta bo`ladi.
3-Masala: Uch tomoni berilgan uchburchak yasang.
ANALIZ. Masala yechildi deb faraz qilib, izlangan uchburchakni taxminan chizib qo`yamiz. (3.4 chizma)
Bunda BC = a, AC = b, AB = c.
Agar, a kesma yasalsa uning B va C uchlari ABC uchburchakning ikki uchi bo`ladi. Endi uchinchi A uchining qayerda yotishini aniqlash qoladi. Buning uchun A nuqtaning quyidagi ikki xossasiga e`tabor qilamiz:

1. 
   
   A nuqta B nuqtadan berilgan c masofada yotadi, demak, u B nuqtani markaz qilib c kesmaga teng radius bilan chizilgan aylanada yotar ekan,
   

3.4-chizma 3.5-chizma

2. 
   
   Ikkinchi tomondan shu A nuqta C nuqtadan berilgan b masofada yotadi, demak, u C markazdan b kesmaga teng radius bilan chizilgan aylanada yotar ekan,
   
3. 
   
   Shunday qilib, uchburchakning izlangan A uchi bu ikki aylana yoylarining kesishish nuqtasi bo`ladi.
   

YASASH. Ixtiyoriy MN to`g`ri chiziqda berilgan tomonlardan biriga masalan, a kesmaga teng qilib, BC kesma ajratamiz (3.5 chizma). Bu kesmaning B uchini markaz qilib c ga teng radius bilan va C uchini markaz qilib, b ga teng radius bilan ikkita yoy chizamiz. Bu yoylar kesishgan A( yoki _{ }) nuqtani B va C nuqtalar bilan tutashtirsak, talab etilgan ABC uchburchak hosil bo`ladi.
ISBOT. Yasashga ko`ra, BC = a AC= b va AB = c bo`lgani uchun ABC uchburchak masalaning talabiga javob beradi.
TEKSHIRISH. Berilgan kesmalar
b – c <sub> </sub>a <sub> </sub>b + c
munosabatda bo`lgandagina uchburchak yasash mumkin.
Yasash natijasida ikkita ABC va _{ }BC uchburchak hosil bo`lsada, bular o`zaro teng bo`lgani uchun masalaning javobi sifatida bulardan bittasi olinadi.

Eslatma: Yasashni b yoki c tomondan boshlasa ham yuqoridagi kabi uchburchaklar hosil bo`ladi.