1-mavzu: Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish Boshlang‘ich tushunchalar

5-mavzu: Funksiya ekstremumini topishning boshqa usuli
funksiyaning ekstremum qiymatlarini toppish uchun ba’zi hollarda funksiyaning 2-va yuqori tartibli hosilalaridan ham foydalanish mumkin. Masalan, biror oraliqda funksiyaning 2-tartibli hosilasi mavjud bo‘lsin.
Ma’lumki, funksiya minimum nuqta atrofida manfiy qiymatdan musbat qiymatga o‘tadi, ya’ni funksiya da o‘suvchi funksiya bo‘ladi; monotonlik shartiga ko‘ra ning hosilasi manfiy bo‘lmaydi, ya’ni .
Agar maksimum nuqtasi bo‘lsa, u holda aksincha, ya’ni

bo‘ladi.
Demak, agar bo‘lib, bo‘lsa, funksiya nuqtada maksimumga ega bo‘ladi; agar bo‘lib, bo‘lsa, funksiya nuqtada minimumga ega bo‘ladi.
Shunday qilib, funksiyaning ekstremumini toppish uchun quyidagi ikkinchi qoida kelib chiqadi:

1. 
   funksiyaning hosilasi topiladi;
   

2) tenglamani yechib, uning ildizlari va umuman barcha kritik nuqttalari topiladi;
3) ikkinchi tartibli hosila topiladi;
4) ikkinchi tartibli hosiladagi erkli o‘zgaruvchi o‘rniga har bir kritik nuqta qo‘yib chiqiladi.
Bu qoida ba’zi funksiyalarning ekstremumlarini tekshirishni birmuncha soddalashtirishi mumkin.
Agar bo‘lsa, ; bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, ; bo‘ladi.
Agar bo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, u holda yo birinchi qoida asosida ekstremumni topishga o‘tiladi, yoki uchun funksiyaning yuqori tartibli hosilalaridan ham foydalanib, ekstremumni tekshirish mumkin.
Umuman, quyidagi teorema o‘rinlidir.
Teorema. Agar funksiyaning nuqtada -tartibli hosilalari mavjud va
;
bo‘lsa hamda funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda toq bo‘lganda funksiya da ekstremumga ega bo‘lmaydi, juft son bo‘lganda da ekstremum mavjud bo‘ladi va bo‘lganda funksiya minimumga, bo‘lganda funksiya maksimumga ega bo‘ladi.
Shuni alohida ta’kidlash kerakki, f(x) funksiyaning ekstremum qiymatlarini topishda quyidagilarga ham e’tibor berish kerak:

1. 
   O’zgarmas k>0 uchun kf(x)+b va f(x) funksiyalarning maksimum va minimum qiymatlari bir xil nuqtalarda bo’ladi; k<0 bo’lganda esa f(x) minimumiga kf(x) ning maksimumi to’g’ri keladi va aksincha bo’ladi.
   
2. 
   f(x) va k+f(x) (k-o’zgarmas) funksiyalar bir xil nuqtalarda ekstremumlarga erishadi.
   
3. 
   Uzluksiz funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari almashib boradi.
   
4. 
   Agar f(x) funksiyaning ko’rinishda bo’lsa, u holda F(x)≥0 uchun f(x) ni F(x) bilan almashtirib, ekstremumga tekshirish mumkin.
   
5. 
   f(x) = ni F(x)>0 uchun F(x) bilan almashtirib, ekstremumga tekshirish lozim, f(x) ning maksimum (minimum) nuqtalariga F(x) ning minimum (maksimum) nuqtalari mos keladi.
   

1-misol. f(x) = x³-3x²-9x+5 ning ekstremumlari topilsin.

1. 
   f ´(x) = 3x²-6x-9
   
2. 
   3x²-6x-9=0; kritik nuqtalar x₁ = -1 va x₂ = 3;
   
3. 
   f ´´(x) = 6x-6;
   

4) f ´´(-1) = -12<0, demak, x_max = -1, y_max = 10; f ´´(3) =12>0, demak, x_min= 3, y_min= -22.

2-misol. f(x) = sin2x – x ning ekstremumlari topilsin.

1. 
   f ´(x) = 2cos2x – 1;
   
2. 
   2cos2x – 1 = 0; cos2x = ; x = .
   

Umuman, x = - +nπ, n Z kritik nuqtalar;

3. 
   f ´´(x) = - 4sin2x;
   
4. 
   f ´´(- ) = - 4sin (- ) = 4sin(- ) = 4sin >0, demak, x_min = - ;
   

y_min = - - . f ´´( ) = - 4sin <0, demak, x_max = ; y_max = - .
Qolgan ekstremumlar ham xuddi shunday aniqlanadi. f(x) = sin2x – x funksiya toq bo’lgani uchun koordinatalar boshidan chapda ham kritik nuqtalar mavjud bo’ladi.

3- misol. funksiyaning ekstremumlari topilsin.

1) ;
2) ; , demak, , , kritik nuqtalar bo‘ladi.
3) ;
4) , ya’ni da maksimumga ega, , ya’ni da minimumga ega bo‘ladi.
, bunda ikkinchi qoida javob bermaydi.
Shuning uchun birinchi qoidadan foydalanamiz:
;
, ,
.
nuqta orqali chapdan o‘ngga o‘tganda hosila o‘z ishorasini o‘zgartmadi, demak, nuqtada funksiya ekstremumga ega emas.
uchun birinchi qoidadan foydalanmasdan, yuqoridagi teoremadan foydalansa bo‘ladi:
;
;
, ; toq son bo‘lgani uchun ekstremum mavjud bo‘lmaydi.
1 – 2-qoidalarni misol yechishda taqqoslaganda 2-qoidaning afzalligi ko‘rinib turipti. Lekin shu narsani alohida ta’kidlash kerakki:
a) 1-qoida 2-qoidaga qaraganda kengroq funksiyalar to‘plamiga tatbiq qilinishi mumkin, chunki 1-qoidada funksiyaning ekstremum nuqtasida hosilaning mavjudligi talab qilinmaydi, 2-qoidada esa bu nuqtada ham birinchi, ham ikkinchi hosila mavjud bo‘lishi kerak;
b) ba’zi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini toppish murakkabroq bo‘lishi mumkin;
v) bo‘lganda 2-qoidani qo‘llab bo‘lmaydi.
Bu hollardan boshqa barcha hollarda 2-qoida afzalroqdir.
Endi ekstremum nazariyasini ba’zi bir tengsizliklarni isbotlashga tatbiq qilamiz.
4- misol. Bernulli tengsizligi. Agar va bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Isboti. funksiyani olamiz.
,
; ;
.
, shuning uchun ; kritik nuqta.
;
, chunki , demak, , . Demak, funksiya da kamayuvchi; da esa o‘suvchi bo‘ladi.
da kamayuvchi, demak, ,
da o‘suvchi, demak, ,
Shuning uchun yoki
.