1-mavzu: Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish Boshlang‘ich tushunchalar

4-мавзу: ҲОСИЛАНИ ФУНКЦИЯЛАРИНИ ТЕКШИРИШГА ТАДБИҚ ЭТИШ
Функциянинг ўсиши ва камайиши
Агар y = f (x) функциянинг қийматлари (а,b) интервалда х ўсиши билан ўсиб борса, у ҳолда бу функция х нинг ўзгариш интервали (a,b) да ўсувчи функция дейилади. Агар y = f (x) функциянинг қийматлари (a,b) интервалда х ўсиши билан камайиб борса, у ҳолда бу функция х нинг ўзгариш интервали (a,b) да камаювчи дейилади. Бу интерваллар монотон ўзгариш интерваллари дейилади.
Функциянинг ўсиш ва камайиш аломатлари.
Агар берилган функциянинг ҳосиласи х нинг (a,b) интервалдаги барча қийматлари учун мусбат бўлса, у ҳолда функция бу интервалда ўсади.
Агар берилган функциянинг ҳосиласи х нинг (a,b) интервалдаги барча қийматлари учун манфий бўлса, у ҳолда функция бу интервалда камаювчи бўлади.
Функциянинг максимум ва минимумини биринчи тартибли ҳосила ёрдамида текшириш
Аргументнинг функция энг катта қийматга эга бўладиган қиймати функциянинг максимум нуқтаси дейилади.
Аргументнинг функция энг кичик қийматга эга бўладиган қиймати функциянинг минмум нуқтаси дейилади.
Функциянинг максимум нуқтаси функциянинг ўсишдан камайишга ўтишида чегаравий нуқта ҳисобланади, мос равишда функциянинг минимум нуқтаси унинг камайишдан ўсишга ўтишда чегаравий нукта ҳисобланади.
Функциянинг максимуми ва минимуми терминлари битта терминга бирлаштирилиб, функциянииг экстремуми дейилади, Функция бир нечта экстремумга эга бўлиши мумкин. Шу сабабли экстремум нуқталар унга қўшни бўлган нуқталарга нисбатан қаралади.
Агар а га етарлича яқин бўлган барча х нуқталарда f(a) < f(x) тенгсизлик бажарилса, у = f (х) функция x = а нуқтада максимумга эга бўлади.
Агар а га етарлича яқин бўлган барча х нуқталарда f(a) < f(x) тенгсизлик бажарилса у = f (х) функция x = а да минимумга эга бўлади.
у = f (х) ф у н к ц и я м а к с и м у м и н и н г е т а р л и ш а р т и
Агар
1) f (a) =0
2) x < а да f (x) > 0;
3) x > а да f (x) < 0 бўлса,
у = f (х) функиия х=а да максимумга эга бўлади.
у = f (х) ф у н к ц и я м и ни му мин инг етар ли ша рти
Агар
1) f (a) =0
2) x < а да f (x) < 0;
3) x > а да f (x) > 0 бўлса,
у = f (х) функиия х=а да минимумга эга бўлади.
f (a) = 0 бўладиган x = a нуқта f (x) функциянинг стационар нуқтаси дейилади.
Агар функция ҳосилага эга бўлса унинг экстремумини стационар нукталарда излаш керак:
у=f(х) функциянннг максимум ва минимумини биринчи тартибли ҳосила ёрдамида текшириш қоидаси.
I Берилган функциянннг у'=f'(x) ҳосиласи топилади.
II. Топилган ҳосила нолга тенгланади: f' (х) = 0; f'(х) = 0 тенглама ечилади, яъни унинг ҳақиқий илдизлари (стационар нуқталар) топилади:
х₁, х₂, х₃,....., х_п
III. Топилган х₁, х₂, х₃,....., х_п илдизларни ортиб бориш тартибида жойлаштирилади. f'(х) хосилани кўпайтувчиларга ёйиладн ва унга х₁ илдиз ўрнига х₁ даи кичикроқ сон қўйилиб, ҳосиланинг ишораси топилади, сўигра х₁ ўрнига х₁ дан каттароқ (лекин албатта х₂ , дан кичик) сон қўйилиб, яна ҳосиланииг ишораси топилади. Агар бунда;
1) ҳосила ишорасини (+) дан (—) га ўзгартирса, у = f (х) фукция х = х₁ да максимумга эга бўлади;
2) ҳосила ишорасиин (—) дан (+) га ўзгартирса, у = f (х) функция х = х₁ дан минимумга эга бўлади;
3) ҳосила ишораси ўзгармаса, функция х = х₁ да минимумга ҳам, максимумга ҳам эга бўлмайди.
Сўнгра f (х) ҳосиланинг ишораларини х < х₂ ва х > х₂ учун ва шу тартибда ҳар бир илдиз учун топилади.
IV. Функциянинг максимал ва минимал қийматлари топилади. Бунинг учун функииянинг қиймат.пари стационар нуқталарда (максимум ва минимум нуқталарда) ҳисоблнади.
V. Эгри чизиқнинг графиги нуқталар (фуикциянинг максимум ва минимум нуқталари, эгри чизиқнинг Ох ва Оу ўк лар билан кесишиш нуқталари) бўйича ясалади.