1-mavzu: Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish Boshlang‘ich tushunchalar

1-mavzu:Ekstremumga doir masalalarni elementar usulda yechish
Boshlang‘ich tushunchalar
Miqdorlarning qabul qiladigan qiymatlari orasida eng katta yoki eng kichik qiymatini ajratib olish ba’zan matematikaning asosiy tushuncha va munosabatlaridan foydalanib ham hal etilishi mumkin.
Shunday masalalardan bir nechtasini ko‘rib o‘tamiz:

1. 
   masala. funksiyaning eng katta qiymati topilsin.
   

Yechish. Ma’lumki, kamayuvchi o‘zgarmas bo‘lganda ayirmaning eng katta qiymati ayriluvchining eng kichik qiymatiga mos keladi. Ya’ni, kamayuvchi 3 o‘zgarmas bo‘lgani uchun ayriluvchi bo‘lganda eng kichik qiymatga erishiladi.
Demak, ning eng katta qiymati 3 ga teng.
2-masala. va funksiyalarning eng katta qiymatlari bir-biriga tengligi isbotlansin.
Yechish. Ma’lumki, ko‘rsatkichli funksiya bo‘lganda o‘suvchi va bo‘lganda kamayuvchi bo‘ladi.
va funksiyalar ham ko‘rsatkichli funksiyalar bo‘lib, mos holda ularning asoslari va .
Demak, o‘suvchi funksiya bo‘lib, o‘zining eng katta qiymatiga ning eng katta qiymatida, ya’ni da erishadi, ya’ni ning eng katta qiymati ga teng bo‘ladi. esa kamayuvchi funksiya bo‘lib, o‘zining eng katta qiymatiga ning eng kichik qiymatida, ya’ni da erishadi. Demak, ning eng katta qiymati ga teng bo‘ladi.
Ma’lumki, .
Shuning uchun va funksiyalarning eng katta qiymatlari bir xil, ya’ni ga teng ekan.
3-masala. Kub formasidagi metalldan stanokda imkoniyati boricha eng katta shar hosil qilingan. Nima og‘ir: sharmi yoki chiqindimi?
Yechish. Kubning qirrasi , hajmi bo‘ladi. Bu kubga ichki chizilgan sharning radiusi bo‘lgani uchun sharning hajmi bo‘ladi.
Endi shar hajmi bilan kub hajmini taqqoslaymiz. bo‘lgani uchun . Shuning uchun .
Demak, shar hajmi kub hajmining yarmidan katta, shuning uchun shar chiqindidan og‘irroq bo‘ladi.
4- masala. Uchburchakning perimetri 1 sm. Shu uchburchakka tashqi chizilgan aylananing radiusi 1km dan ham katta bo‘lishi mumkinmi?
Yechish. Uchburchakning perimetri 1 sm bo‘lgani uchun uning ikki tomonini juda kichik va ular orasidagi o‘tmas burchakni ga juda yaqin qilib olinsa, u holda shu uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi bu ikki tomon simmetrallari (tomonlar o‘rtalariga o‘tkazilgan perpendikular) deyarli parallel bo‘ladi. Simmetrallarning kesishuv nuqtasi li burchakka juda yaqin bo‘lgan o‘tmas burchak uchidan 1 km dan ham ko‘proq uzoqlikda bo‘lishi mumkin.
5- masala. Kvadrat va romb teng perimetrlarga ega. qaysi birining yuzi katta?
Yechish. Kvadrat va rombning perimetrlari tengligidan ularning tomonlari ham teng bo‘ladi, uni bilan belgilaymiz. Kvadrat yuzi ga teng bo‘ladi.
Endi romb yuzini hisoblash uchun uning tomonlaridan birini asos va unga tushirilgan balandlikni desak, romb yuzi bo‘ladi. Lekin , chunki balandlik gipotenuzasi bo‘lgan to‘g‘ri burchakli uchburchakning katetidir.
bo‘lgani uchun , demak, romb yuzi kvadrat yuzidan kichik bo‘ladi.
Yuqorida ko‘rib o‘tilgan har bir masalada funksiyalarning eng katta yoki eng kichik qiymatlari izlandi. Bu izlanishda maksimum va minimum nazariyasining ma’lum metodlaridan foydalanmasdan, masalaning mohiyati bo‘yicha, ma’lum qonuniyatlardan foydalanildi.
Endi ba’zi bir oddiy masalalarni hal qilishda qo‘l keladigan sinash usulini ko‘rib o‘tamiz.
6- masala. Perimetri 120 m bo‘lib, yuzi eng katta bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak shaklidagi yer uchastkasi o‘rab olinsin. Bu to‘rtburchakning o‘lchovlari qanday bo‘lishi mumkin?
Yechish. Masalani yechish uchun bunday savol qo‘yamiz:
To‘g‘ri to‘rtburchak perimetri o‘zgarmasdan, uzunligi va kengligi o‘zgarganda uning yuzi o‘zgaradimi?
To‘g‘ri to‘rtburchakning ikki qo‘shni tomnlari uzunliklarining yig‘indisi 60 m. Shuning uchun uning tomonlarini bunday tanlash mumkin: 20 m va 40 m, u holda yuzi yoki 10 m va 50 m, u holda yuzi .
Demak, to‘g‘ri to‘rtburchakning perimetrini o‘zgartmasdan faqat tomonlarini o‘zgartsak, uning yuzi o‘zgarar ekan.
Perimetri 120 m bo‘lib, tomonlar qanday bo‘lganda to‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi eng katta bo‘ladi?
Bu savolni hal qilish uchun to‘g‘ri to‘rtburchakning bo‘yini , enini yuzini esa bilan belgilab, quyidagi jadvalni tuzmiz:

	1	2	3	4	…	29	30	31	…	58	59
	59	58	57	56	…	31	30	29	…	2	1
	59	116	171	224	…	899	900	899	…	116	59

Jadvaldan ning qiymatlari 1 dan 59 gacha o‘sganda, ning qiymatlari 59 dan 1 gacha kamayishini ko‘ramiz. esa butunlay boshqacha o‘zgaradi: oldin qiymatlari kattalashib, so‘ngra tobora kichik qiymatlar ola boshlaydi. Demak, ning qabul qiladigan qiymatlari orasida eng kattasi bor.

Jadvaldan ning eng katta qiymati 900 kv.m ekanligi, bu esa ga mos kelishi ko‘rinib turibdi.
Haqiqatan ham, bu qiymat ning eng katta qiymati bo‘la oladimi?
m, m bo‘lganda kv.m bo‘ladi;
m, m bo‘lganda kv. m bo‘ladi.
Endi m, m, …, m bo‘lganda yuzni hisoblaymiz. Buning uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:

	29,6	29,7	29,8	29,9	30,0	30,1	30,2	30,3	30,4
	30,4	30,3	30,2	30,1	30,0	29,9	29,8	29,7	29,6
	899,84	899,91	899,96	899,99	900,00	899,99	899,96	899,91	899,84

ning 30 m ga juda yaqin qiymatlarida ham ning 900 kv. m ga teng qiymatiga erisha olmadik.
Demak, 900 kv. m uchun eng katta qiymat hisoblanadi. Bu qiymat m bo‘lganda hosil qilinadi.
Demak, perimetri o‘zgarmas bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar orasida kvadrat eng katta yuzga ega bo‘lar ekan.

2-mavzu: Асалари уяси хакидаги масала
Ma’lumki, asalari uyasi mumdan yasalgan o‘n yoqli yacheykalarning qator joylashishidan iborat.
O‘n yoqlini tasavvur qilish uchun muntazam olti burchakli to‘g‘ri prizmaning asosining , va diagonallari orqali o‘zaro kesishadigan uchta tekislik o‘tkazamiz.
Shunday qilib, o‘n yoqli figuraning 6 yog‘i to‘g‘ri burchakli to‘rtburchaklardan, 3 yog‘I ga o‘xshagan 3 ta rombdan va bir ochiq yog‘i muntazam oltiburchakdan iborat. deb belgilasak, ning qiymati taxminan ga teng bo‘ladi. Aniqrog‘i, . ning bu qiymati asalari yacheykasining berilgan hajmda eng kichik sirtga ega bo‘lishini ta’minlaydi (7-chizma).
Biz asalari uyasining ko‘ndalang kesimida nima uchun muntazam oltiburchaklar yotishi masalasi bilan shug‘ullanamiz. Haqiqatan, asalari uyasining ko‘ndalang kesimida nima uchun muntazam oltiburchaklar yotadi?
Bu savolga javob berish uchun geometriyaga murojaat qilamiz. Qanday muntazam ko‘pburchaklar yordamida tekislikni to‘la qoplash mumkin? Ya’ni bir xil muntazam ko‘pburchaklarni tekislikda shunday joylashtirish kerakki, ular bir-birlari bilan ustma-ust tushmagan holda tekislikda ular qoplamagan nuqtalar qolmasin. Bunday xossaga ega bo‘lgan faqat uchta muntazam ko‘pburchak: uchburchak, kvadrat, ol tiburchak borligi qadimdan, hatto qadimgi grek matematiklaridan Pifagorga ham ma’lum bo‘lgan (8-chizma).
Nima uchun boshqa muntazam ko‘pburchaklar ko‘rsatilgan xossaga ega emas?
Bu savolga javob berish uchun muntazam burchakning bitta ichki burchagining ga tengligidan foydalanamiz. Shunday burchaklardan tasi bir nuqta atrofidagi tekislikni to‘ldirsa, u holda yoki bo‘ladi.


10- chizma.
Demak, muntazam uchburchak va kvadratlardan parket hosil qilib, ularning uchlari uchrashadigan nuqtalarda 3 ta uchburchak va 2 ta kvadratning uchi uchrashadi (11- chizma).
Agar , bo‘lsa, (*) ga asosan bo‘lib, uning butun yechimlari , bo‘ladi.
Demak, kvadrat va muntazam sakkizburchakdan ham parket yasahs mumkin ekan (12-chizma).
O‘quvchilarga boshqa hollarni ham ko‘rsatish mumkin. Ba’zi hollarda 3 xil ko‘pburchaklardan ham parket tuzish masalasi qo‘yiladi. U holda asosiy tenglama:

bo‘ladi.
Bundan . (**)
Agar , , bo‘lsa, u holda (**) ga asosan hosil bo‘ladi. , , bu tenglamani qanoatlantiradi. Demak, muntazam uchburchak, oltiburchak va kvadratlardan parket hosil qilish mumkin (13- chizma).

11- chizma. 12- chizma. 13- chizma.
Haqiqatan ham, muntazam uchburchak, muntazam oltiburchak va kvadrat bir xil yuzga ega bo‘lsin. Ularning perimetrlarini taqqoslaymiz.
Agar muntazam uchburchakning tomoni bo‘lsa, u holda uchburchakning yuzi bo‘ladi. Bundan . Uchburchakning perimetri esa bo‘ladi.
Agar kvadratning yuzi bo‘lsa, uning tomoni bo‘lib, kvadrat perimetri bo‘ladi.
Agar muntazam oltiburchakning tomoni bo‘lsa, u holda uning yuzi bo‘ladi. Demak, bo‘lib, perimetri bo‘ladi.
Shunday qilib, bir xil yuzga ega bo‘lgan figuralarning perimeterlari: ; ; bo‘ladi.
Endi perimetrlarni taqqoslaymiz:
yoki
.
Shunday qilib, bir xil yuzli muntazam uchburchak, to‘rtburchak va oltiburchaklar orasida muntazam oltiburchak eng kichik perimetrga ega bo‘ladi.
Shuning uchun asalarilar o‘z uyasini qurishda kamroq mum sarflash maqsadida olti burchakli yacheykalarni tanlashgan.
Asalari uyasining boshqa tuzilishlariga to‘xtab o‘tmasdan, qo‘yilgan masalaning davomi sifatida parket hosil qilish prinsiplari masalasiga o‘tish mumkin.
Parket hosil qilish, ya’ni tekislikni bir xil yoki har xil ko‘pburchaklar bilan qoplashdir.
Eng oddiy parketlarga misol sifatida faqat muntazam uchburchaklardan yoki kvadratlardan, yoki muntazam oltiburchaklardan tuzilgan tekisliklarni ko‘rsatish mumkin.
Bulardan tashqari turli “hosila” parketlar mavjud bo‘lib, ular tomonlarining soni har xil bo‘lgan turli ko‘pburchaklardan tuzilgan bo‘ladi.
Shuni ham aytish kerakki, har qanday ikki muntazam ko‘pburchakdan parket hosil qilinadi deb bo‘lmaydi. Bu masalani hal qilishda oldin ikkita savol qo‘yamiz:
1. Qanday ikki muntazam ko‘pburchak parket hosil qiladi?
2. Har qanday ko‘pburchaklardan nechtasining uchi bir nuqtada uchrashadi?
Bir nuqtada burchaklardan tasining uchi va burchaklardan tasining uchi uchrashsin. Demak, ta burchak va ta burchak nuqta atrofini to‘la qoplaydi. Shuning uchun burchakning ta ichki burchagi bilan burchakning ta ichki burchagi ga teng bo‘ladi, ya’ni
, bundan . (*)
, bo‘lsin, u holda yoki bo‘ladi. aniqmas tenglamaning butun yechimlari , va , bo‘ladi. Demak, muntazam uchburchak va oltiburchaklardan ikki xil parket hosil qilish mumkin:
1) ko‘pburchaklar uchlari uchrashadigan nuqtalarda 4 ta uchburchak va 1 ta oltiburchakning uchi uchrashadi (10-a chizma);
2) ko‘pburchaklar uchlari uchrashadigan nuqtalarda 2 ta uchburchak va 2 ta oltiburchakning uchi uchrashadi (10-b chizma).
Endi va bo‘lsin. Bu qiymatlarni (*) ga qo‘ysak,
yoki