1-теорема. функционал кетма-кетлик тўпламда функцияга текис яқилашиши учун
бўлиши зарур ва етарли.
◄ Зарурлиги. Айтайлик,
бўлсин. Таърифга биноан
бўлади. Бу тенгсизликдан
бўлиб, ундан
бўлиши келиб чиқади.
Етарлилиги. Айтайлик
бўлсин. Лимит таърифга кўра
бўлади. Равшанки
.
У ҳолда учун
бўлади. Бундан
бўлиши келиб чиқади.►
5-мисол. Ушбу
функционал кетама-кетликнинг да текис яқинлашувчилиги кўрсатилсин.
◄Берилган функционал кетма-кетликнинг лимит функцияси
бўлади. Энди
ни топамиз:
.
Демак,
бўлиб,
бўлади.►
Эслатма. Агар функционал кетма-кетлиги учун тўпламда
бўлса, функционал кетма-кетлик да текис яниқла-шиши шарт эмас.
Энди функционал кетма-кетликнинг лимит функцияга эга бўлиши ва унга текис яғинлашишини ифодаловчи теоремани келтирамиз:
2-теорема (Коши теоремаси). функционал кетма-кетлик тўпламда лимит функцияга эга бўлиши ва унга текис яқинлашиши учун сон олинганда ҳам шундай топилиб, ва да
,
яъни
ва да
(2)
бўлиши зарур ва етарли.
◄ Зарурлиги. Айтайлик, тўпламда функционал кетма-кетлик лимит функция га эга бўлиб, унга текис яқинлашсин:
Текис яқинлашиш таърифига кўра
бўлади. Хусусан, ва да
тенгсизликлар бажарилиб, улардан
бўлиши келиб чиқади. Демак, (2) шарт ўринли.
Do'stlaringiz bilan baham: |
