17-Маъруза. Ўтиш жараёнларини оператор усулда ҳисоблаш босқичлари

17.2-мисол. L,r занжирнинг (17.2,а-расм, бунда r₂+R=r; коммутациягача ток i₂=i берилган) коммутациядан кейинги токни аниқланг.
Ечиш. Оригинал ri+Ldi/dt=0 тенгламасидан унинг оператор шаклидаги ёзувчига ўтиб ва хосилани ифодалаш учун (17.21) дан фойдаланиб, қуйидагини аниқлаймиз:
rI+LpI-Li(0-)=0,
ундан I=Li(0-)/(r+Lp).
Ушбу тенгламани аввал кўрилган (17.27)га мос келган шаклга келтириб, қуйидагини аниқлаймиз:
~
бунда .
Оператор усулида бошланғич шарт масаласи кўрилмайди, чунки ўз-ўзидан тенглама оператор шаклида ёзилиши жараёнида ҳисобга олинади. Фақат тенглама (17.21) ва (17.23)ни ҳисобга олиб тўғри ёзилишига эътибор бериш зарур; бунда коммутация жўяликми [индуктивлиги бўлган занжир учун ёки ножўя коммутациями - фарқи йўқ. Ушбу афзаллик айнан L_- тизимлар учун хосдир.
17.3-мисол. Ножўя коммутация вазиятини кўрайлик (17.9,а-расм). Занжирнинг калит узилгандан сўнгги оператор тенгламаси қуйидаги шаклда ёзилган:

Ушбу тенглама I~i ток иккала индуктивлик учун умумий бўлган ток учун ёзилган: бироқ i (0-) токнинг қиймати L₁ ва L₂ учун ҳар хилдир.
Ечиш. Кейинги тенгликдан I ни аниқлаймиз:


(а)
ва касрнинг тасвирига ўтамиз:
(б)
бунда a=(r₁+r₂)/(L₁+L₂).
Биринчи касрнинг кўпайтувчиси, ўз-ўзидан маълумки, токнинг бошланғич шарти (қиймати), у аввал аниқланган (17.26) билан мос келади.
Иккала каср маълум бўлган вақт функцияси тасвири. Дарҳақиқат, (17.27) ва (17.28)дан қуйидагини аниқлаймиз:
I ~ i(f) = i(0+)e^-αt+ (1- e^-αt). (в)
Дифференциал тенгламалар юқори тартибли бўлганда ҳам тасвир тенгламаси шу тарзда тузилади. Бироқ, бунда оператор ифода F(p) дан изланаётган оригинал ƒ(t) га ўтишда мураккаброқ бўлган функциялар учун мослик мавжудлигини билиш зарур. Ҳар хил турдаги масалаларни ечишда ƒ~F мослик жадвали қурилади. Юзлаб хар ҳил функциялар тасвирларининг жадваллари кенг тарқалган. Мураккаб масалаларни ечишда ушбу жадвалларга мурожаат этиш зарур. Келтирилган қисқа 17.1-жадвалдан ҳам керакли бўлган мосликлар мажмуасини ҳосил қилиб, чизиқли занжирларнинг ҳар турдаги масалаларини ечиш мумкин.
Жадвал ёрдамида ушбу масалаларни ечиш жараёнида қуйидаги зарур бўлган амалий қадамга эътиборни қаратамиз. Аниқланган F(p) ифодада шундай алгебраик ўзгартишлар амалга оширилиши керакки, уни 17.1-жадвалдаги мавжуд ифодалардан бирига ўхшатишга имкон берсин.