17-Маъруза. Ўтиш жараёнларини оператор усулда ҳисоблаш босқичлари

17.2. Оддий функцияллар тасвири

Оригинал билан унинг оператор тасвири орасида мосликни киритиб, биз чизиқлилик талабини (17.2) ифодаладик, шу билан бирга тасвирда умумлаштирилган ҳосила бўлишига (17.5) шартлашдик.

Муайян берилган функциянинг тасвирини аниқлаш учун бирор aниқ оригинални тасвирлаш шаклини танлашимиз зарур. Бу билан умуман барча тасвирлаш тизими учун жорий этилувчи тасвирлар ва оригиналлар орасидаги боғланиш шаклини тадбиқ этилади: оригинал ƒ(f) ва тасвир F(p) орасида ўтиш калити (ёки коди) ўрнатилади, шундан сўнг барча тасвирлаш тизими ўзаро ва узил-кесил аниқланган бўлади.
Хевисайднинг оператор усулида энг содда боғланиш бўлмиш
1 ~1 (17.6)
бир сонини бир сони тасвирлайди.
Кейинги бобда келтириладиган сабабларга кўра, Хевисайд тизими баъзи афзалликларга эга бўлса ҳам, аксарият, Лапласнинг интеграл ўзгартишига мос келган боғланиш қўлланилади:

1 ~1 /p, (17.7)

-бир рақами бир бўлинган оператор р шаклида ёзилади.
Юқоридаги (17.6) ва (17.7) ифодалар чап томонидаги функция фақат t>0 бўлганда 1 га тенг ва t<0 бўлганда нолга тенг, яъни (17.6) а (17.7)ларнинг чап томонидаги функция-Хевисайд функциясидир.
функциянинг тасвири. (17.7) ифодани (17.5) га тадбиқ этиб, ҳамда Хевисайд функциясининг ҳосиласи функция эканини эътиборга олсак қуйидагини аниқлаймиз:

~1. (17.8)
Аниқ интеграл. Юқоридаги мулоҳазалардан қуйидаги хулосани чиқариш мумкин: 0 дан t гача бўлган оралиқда оригинални интеграллаш тасвирни оператор р га бўлишга мос келади:
~ агар ƒ~F бўлса, (17.9)
чунки ҳосил бўлган функция:
~X (17.10)
t=0 бўлганда нолга тенг, яъни х (0-)=0.
Дарҳақиқат, унинг ҳосиласига (17.5) ни тадбиқ этиб, аниқлаймиз
~ (17.11)
Демак, интегралнинг тасвири Х=F/p экани исботланди.