2-§. Munosabatlar. Binar munosabatlar. Ekvivalentlik munosabati. Tartiblangan to‘plamlar. 1-ta’rif

2.3-misol: N  N to’plamda :<х, у> : <u, v>  x + v = y + u munosabatni aniqlaymiz, bu yerda N–natural sonlar to’plamidir. –munosabatning bu to’plamda ekvivalentlik munosabati ekanligini isbotlang.
Yechimi:  munosabat refleksiv hisoblanadi, chunki <х,у><х,у> ekanligidan х + у = у + х tenglik o’rinli.
Endi  munosabatning simmetrikligini isbotlaymiz. Buning uchun agar <х, у>  <u, v> bo’lsa, u holda <u, v>  <х, у> ekanligini isbotlash lozim. Haqiqatdan, agar x + v = y + u bo’lsa, u holda u + y = v + x tenglik o’rinlidir.
 munosabatning tranzitivligini isbotlash uchun agar <х, у>  <z, t> va <z, t>  <u, v> bo’lsa, u holda <х, у>  <u, v> ekanligini isbotlash zarur va yetarli. Bu quyidagi shartga tengkuchlidir:
.
Sistemadagi tenlamalarni qo’shish yo’li bilan ga ega bo’lamiz. Tenglikni soddalashtirsak ga ega bo’lamiz. Bu esa  munosabatning tranzitivligini isbotlaydi.
 munosabatning refleksiv, simmetrik va tranzitivligi uning ekvivalent munosabat ekanligini bildiradi.
2.4-misol: to’plamda munosabat ekvivalentlikni ifodalashini isbotlang. Ko'rsatilgan ekvivalentlikni qaysi bo'lim belgilaydi?
Yechimi: R to’plamda <1,1>, <2,2>, <3,3> jufliklarni mavjudligi uning refliksivligini bildiradi.
R munosabat simmetrik. Unga teskari bo’lgan munosabatni topib olamiz: .
simmetriklik shartidir.
Endi _-tranzitivlik shartini tekshiramiz. , ekanligidan, . Shunday qilib, to’plamda R–munosabat ekvivalentlikdir.
Berilgan ekvivalentlikka mos bo’laklashni aniqlash uchun 1,2,3 elementlardan tuzilgan ekvivalentlik sinfini aniqlaymiz:
;
;
.
Izlanayotgan bo’laklash quyidagi ko’rinishga ega: , .