2-Mavzu: Matematik analizning tatbiqiy masalalari Reja: Aniq integralning tadbiqlari

1. To’g’ri to’rtburchaklar formulasi.

Faraz qilaylik, y=f(x) funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsin. Ushbu aniq integralni hisoblash talab qilinadi.[a,b] kesmani a=x₀, x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n=b nuqtalar bilan n ta teng qismga bo’lamiz.

Har bir bo’lakning uzunligi:

f(x) funksiyaning x₀, x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_n nuqtalardagi qiymatini y₀, y₁, y₂, ..., y_i, ..., y_n orqali belgilaymiz, ya’ni

y₀=f(x₀), y₁=f(x₁), ..., y_i=f(x_i), ..., y_n=f(x_n)

Qo’yidagi yig’indilarni tuzamiz:

Bu yig’indilardan har biri f(x) funksiya uchun integral yig’indi bo’ladi va shuning uchun integralni taqribiy ifoda etadi:

(1)

(2)

Bu formulalar-to’g’ri to’rtburchaklar formulalaridir.

Agar f(x) musbat va o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda (1) formula ichki to’rtburchaklardan tuzilgan pog’onali figuraning yuzini ifodalaydi, (2) formula esa tashqi to’rtburchaklardan tuzilgan pog’onali figuraning yuzini ifodalaydi.

Integralni to’g’ri turtburchaklar formulasi bilan hisoblashda qilingan xato n soni qancha katta bo’lsa, shuncha kichik bo’ladi. To’g’ri to’rtburchaklar formulasining absolyut xatosi dan katta emas, bu yerda M₁ - |f ^|(x)| ning [a, b] kesmadagi eng katta qiymatidir.

2. Trapetsiyalar formulasi.

[a, b] kesmani bo’lishni avvalgidek qoldirib, Dx xususiy intervalga mos keluvchi y=f(x) chiziqning har bir yoyini bu yoyning chetki nuqtalarini tutashtiruvchi vatar bilan almashtiramiz. Bu berilgan egri chiziqli trapetsiyani n ta to’g’ri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig’indisi bilan almashtirilganini bildiradi.

2-rasm.
Bunday figuraning yuzi egri chiziqli trapetsiyaning yuzini to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan pog’onali figuraning yuziga qaraganda ancha aniq ifodalashi geometrik jihatdan ravshandir.

Bu trapetsiyalardan birinchisining yuzi , ikkinchisining yuzi , va hokazo bo’lgani sababli

va Dx=(b-a)/n ekanligini eslasak

(3)

Bu trapetsiyalar formulasidir.

n soni qancha katta bo’lsa va demak, Dx=(b-a)/n qadam qancha kichik bo’lsa, (3) taqribiy tenglikning o’ng tomonida yozilgan yig’indi shuncha katta aniqlik bilan integral qiymatini beradi. Trapetsiyalar formulasining absolyut xatosi dan katta emas, bunda M₂-|f ^||(x)| ning [a, b] kesmadagi eng katta qiymatidir.