22-мавзу: биринчи даражали бир номаълумли танқосламаларнинг эчимлари сони ҳАҚидаги теорема. 1-таъриф

2-мисол. 11^x=17 (mod 31) таққосламани ечинг.
Бунинг учун берилган таққосламанинг иккала қисмини индекслаб хind 11≡ ind 17 (mod 30) таққосламага эга бўламиз. ind 11 = 23, ind 17=7 эканидан 23x ≡ 7 (mоd 30) ёки x = 29 (mod 30) таққосламани ҳосил қиламиз. Бундан x=29 (mod 30) ечим берилган таққосламанинг ечими экани келиб чиқади.

Биз ҳозир шу усулни ўнлик, юзлик ва минглик саноқ системалари учун баён этамиз.

Фараз қилайлик, а натурал сон ўнлик саноқ системада берилган бўлсин. Унда бу а сонини ўннинг даражалари бўйича қуйилагича ёзиш мумкин:
а= a₀ + a₁10 + а₂10² + ... + а_п10ⁿ.
m модуль бўйича 10^k сон тегишли бўлгаи чегирмалар синфининг энг кичик абсолют чегирмаси r_k, яъни
10^k ≡ r_k (mod m) ( ; r₀=l) бўлсин.
Унда а сонини қуйидагича ёзиш мумкин:
a=a₀r₀ + a_lr₁ + . . . + a_nr_n (mod m). (1)
Aгap R_m = a₀r₀ + a₁r₁ + . . . + a_nr_n. десак, (1) ушбу
а=R_m(mod m)
кўринишда бўлади. Шундай қилиб, а сони ундан кичик бўлган R_m сони билаи алмаштирилади. Бошқача қилиб айтганда, (1) таққослама ўнлик системада Паскалнинг бўлиниш (ёки тенг қолдиқлилик) аломатини билдиради. Aгap R_m=0 бўлса, а сон m гa қолдиқсиз бўлинади, aгap R_m≠0 бўлса, у ҳолда r = R_m бўлади.
Бўлиниш аломатининг қуйидаги баъзи хусусий ҳолларини кўриб ўтамиз:

1. 
   m=9 бўлсин. Биз ихтиёрий натурал соннинг 9 га бўлиниш аломатини келтириб чиқарамиз.
   

Ушбу 10≡ l (mod9) таққосламанинг иккала қисмини k даражага кўтарсак,

10^k=1 (mod9)

таққослама ҳосил бўлади. Бундан кўринадики, барча r_k лар 1 гa тенг экан. Унда R_m қуйидаги кўринишни олади:
R₉ = a₀ + a₁ + a₂ + ... + a_n
Бу эса ўрта мактабда бизга маълум бўлган аломатнинг ўзидир, яъни берилган соннинг рақамлари йиғиндиси 9 га бўлинcа, у ҳолда бу натурал сон 9 гa бўлинади.

2. 
   m=11 бўлсин. У ҳолда 10 ≡ –l (mod 11)  10^k ≡ (–l)^k (mod 11) га асосан
   

R₁₁ = (a₀ + a₂ + a₄ + …) – (a₁ + a₃ + a₅ + … )
тенглик ўринли бўлади, яъни R₁₁ сон 11 гa бўлинса, у ҳолда берилган сон 11 га бўлинади.
1-мисол. а = 3568921 сонни 11 га бўлганда ҳосил бўладиган қолдиқни топинг.
Демак, 3568921 сонни 11 га бўлганда қоладиган колдиқ 4 га тенг.

3. 
   m = 7 бўлсин. У ҳолда
   

10⁰ ≡ l (mod 7), 10 ≡ 3(mod 7), 10² ≡ 2(mod7),
10³ ≡ -1 (mod 7), 10⁴ ≡ –3 (mod 7), 10⁵ ≡ –2(mod 7),
10⁶ ≡ 1 (mod 7)
бўлгани учун R₁ = a₀ + 3a₁ + 2a₂ – a₃ – 3а₄ – 2а₅ + a₆ бўлади. Фараз қилайлик, 10 сони m модуль бўйича δ кўрсаткичга тегишли бўлсин. Унда кўрсаткичнинг таърифига асосан, 10⁰ ≡ l(mod m) бўлгани учун r_δ = 1 бўлиб, r_δ+1 = r₁, r_δ+2= r₂, . . , , r_2δ = r_δ= 1 бўлади, яъни қолдиқлар δ та қадамдан сўнг такрорланади. У ҳолда R_m қуйидаги кўринишни олади:
R_m=a₀ + a₁r₁ + a₂r₂ + … + a_δ-1r_δ-1 + a_δ +a_δ+1r₁+…
Маълумки, ихтиёрий сонни ихтиёрий саноқ системасида ёзиш мумкин. Фараз қилайлик, саноқ системасининг асоси 10^δ бўлиб, бу асосга кўра а сонининг ёйилмаси
a=d₀ + d₁10^δ + d₂10^2δ + . . . + d_n10^nδ
бўлсин. (10)ⁿ=l (mod m) бўлгани учун (1) таққослама а = d₀ + d₁ + d₂ + . . . + d_n кўринишни олади.
Демак, 10 асосли системада берилган соннинг m га бўлиниш аломати ўнлик системада берилган соннинг 9 га бўлиниш аломати каби бўлар экан. Шуни алоҳида таъкидлаш керакки, берилган а сонининг 10^δ асос бўйича m га бўлиниш аломатини келтириб чиқариш учун уни ўнгдан чапга қараб δ хоналарга ажратиб чиқиш лозим.
Энди даражани бўлишдан чиққан қолдиқни ҳисоблайлик.
a ≡ r (mod m)  a^k ≡ r^k (mod m)
бўлгани учун a^k даража r^k даража билан алмаштирилади (r; m) = 1 бўлганда Эйлер теоремасидан фойдаланиш мақсадга мувофиқдир. Ҳақиқатан, (r; m)=1 булганда r^φ(m) =1 (mod m) эди. k = φ(m)q + l (0 ≤ l < φ(m)) тенгликка асосан
r^k ≡ (r ^φ(m))^q  r^l ≡ r^l (mod m)
ни ёза оламиз.
II. Oддий касрни ўнлик касрга айлантиришда ҳосил бўладиган давр узунлигини аниқлаш. Маълумки, махражи 2 ва 5 га бўлинмайдиган ҳар қандай қисқармайдиган касрни ўнли касрга айлантирганда, бу ўнли каср чексиз даврий ўнли каср бўлади.
1-ТАЪРИФ.Ўнли касрнинг бутун қисми унинг характерастикаси, каср қисми эса мантиссаси дейилади. Aгap ўнли касрнинг мантиссаси чексиз бўлиб, унда маълум узунликдаги ўнли улушлар такрорланиб келса, у ҳолда бундай ўнли каср даврай ўнли каср, такрорланадиган ўнли улушларнинг кичиги давр, бу даврдаги рақамлар сони давр узунлиги дейилади.
2-ТАЪРИФ. Aгap даврий касрда давр бевосита вергулдан кейин келса, у ҳолда бундай каср соф даврий каср, агар вергул билан давр орасида бошқа рақамлар бўлса, у ҳолда бундай даврий каср аралаш даврий каср дейилади.
Ҳар бир даврий ўнли касрнинг давр узунлигини топиш мумкин. Бунинг учун қуйидаги икки ҳол бўлиши мумкин:
1-ҳол. Қисқармайдиган тўғри (акс ҳолда касрнинг бутун қисмини ажратиб олган бўлардик) касрнинг махражида 2 ва 5 каби бўлувчилар мавжуд эмас, яъни (а; b)=1, (b; 10)=1 бўлсин.

Қуйидаги тенгликлар кетма-кетлигини қараймиз:

10 a=bq_x + r_t (010 ri–bq^+r₂ (02<6); (I)
10 г_а=%фг₃ (03 < A);
10 r_m__x =A/_m+r_m (0< r _m b).
b>a, b~>r_u . . . , b>r_m_j бўлгани учун q_x < 10, q_% < <10, . . . , ^_m<10 бўлади.
Қуйидаги тасдиқлар рост бўлади:
(10; b) = 1Д(а; bt = I=MlOa; b) =M;
(Юа; b) = I=Mr₁; 6) = 1;

((10; b) = \^ (r_i; 5)) = l=>(r₂; 5) = 1;

Шундай қилиб, (г_г: 5) = 1 эканига ишонч ҳосил қиламиз. Демак, гурли r_t(i= 1, п) лар 5 модуль бЎйича чегирмаларнинг келтирилган системасини ташкил этади. Маълумки, b модуль бЎйича чегирмаларнинг келти- рилган системасидаги чегирмалар сони <р(5) га тенг.
Шунинг учун кўпи билан <р'5) қадамдан сўнг барча қолдиқлар ва улар б лан биргаликда q, чала бўлинмалар яна такрорлана бошлайди. q_2s .. . , q_m
рақамлар эса – қисқармайдиган касрнинг даври дейи-либ, бу касрнинг давр узунлиги <р(5) дан катта бўла олмайди.
Даврдаги рақамлар сонини юпиш учун (1) тенг- лккларни b модуль бўйича қуйидаги таққосламаларга алмашгирамиз:
10а=г,(mod b);
10 r,=r₂(mod b); (2)
10 r₂=r₃(mod b)\
Ю ^r_m__x =r _m( mod b).
Бу таққосламаларни ҳадлаб кўпайтирамиз, у ҳолда
10^ma-r_rr₂ . .. г_т_^г_гг_г . .. rjmodb)
ҳосил бўлади. (г,-r₂ . . . r_m_,; 5)==1 бўлгани учун охирги таққосламанинг иккала қисмини r_t •r_s... г_т_₁ кўпайтмага бўлиб, ушбу
10^ma==r„_t(mod b) (3)
таққосламани ҳосил қиламиз.
Айтайлик, 10 сони h модуль бўйича m кўрсагкичга тегишли бўлсин. У ҳолда сон тегишли кўрсаткичнинг таърифига асосан, ушбу
IO^m=I (mod b) (4)
таққослама ўринли бўлади. (4) га асосан (3) ни қуйи- дагича ёзиш мумкин:
a=A_m(mod5). (5)
Маълумки, (0<а<£ ва 0_m ҳар бири b дан кичик бўлган иккига мусбат сон h модуль бўйича тенг қолдиқли бўлиши учун улар тенг бўлиши, яъни a = r_m бўлиши лозим.
Демак, rn та қадамдан сўнг ҳосил бўладиган қол- диқ берилган касрнинг суратига тенг бўлади, бошқача айтганда m та қадамдан кейин қолдиқлар (ва демак, бўлинмалар ҳам) такрорланиб келали:
^Гт+\~^Г" ^Гт+г~^Г2> ^Гт+3~ ^rZ'
m сони (5) таққослама ўринли бўлган индексларнинг энг кичигидир. Чунки m индекс b модуль бўйича а сони тегишли бўлган кўрсаткичдир. Тегишли кўрсат- кич эса унинг таърифига асосан, (4) таққосламани қаноатлантирувчи даража кўрсаткичларидан энг кичиги-дир. ҒЗундан m сони - касрнинг давр узунлиги экан деган хулоса а келамиз.

Шундай қилиб, (4) таққослама ўринли бўлганда – каср (а; b) = \ бўлганда соф даврий касрга ёйилади, ь даврдаги ракамлар сони (давр узунлиги) фақатгина касрнинг махражига боғлиқ.

1. 
   даги _ тенгликларнипг ҳар икки қисмини b гa бўлиб, қуйидагиларни ҳосил қиламиз:
   

Бу тенгликларга асосан, қуйидаги ёйилмага эга бўла- миз:

бўлиб, – касрнинг даври (q_u q₂, q₃, ... , q_m) бўлади* ь Юқоридаги тенгликлар кетма-кетлигига асосан ~ нинг даври (ij₂, q_s q_m, +), 'f нинг даври (q₃, q_iy . . . ,

. . . , q_m, q_u q₂), умуман ^r-j касрнинг даври (?_й+, , . . . ,
. . . , q_m, ¢7,, . . . , ¢7¾) бўлишига ишонч ҳосил қиламиз.

Шундай қилиб, 10 сони b модуль бўйича m кўр-

саткичга тегишли бўлса, –, --, – каср-
лар соф даврий касрлар бўлиб, улар бир-биридан давр- даги рақамларнинг циклик алмашиб келиши билан фарқ қилади
Aгap 10 сони b модуль бўйича бошланғич илдиз бўлса, бўлади. У ҳолда ўнли касрнинг давридаги рақамлар соии m= гa тенг. Лекйн бош- лаиғич илдиз ҳар қандай сонлар ўчун мавжуд бўлавермаслигини биз кўриб ўтган эдик.
Айгайлик, 10 сони b модуль бўйича бошланғич ил- диз бўлмасин. Унда 10 сони тегишли бўлган кўрсат- кич ср(й) дан. кичик бўлади. Бундай ҳолда = md каби тенгликни ёза оламиз Демак, суратлари 1 дан ®(Л) гача бўлган сонларни қабул қилувчи, махраж- лари эса b га тенг бўлган касрлар тўплами d та каср-
лар системасига ажралар экан. Бу касрлар система- сини биз қуйидагича ёзиб оламиз:
Бунда ҳар бир йўлдапи касрларнииг даври бири ик- кинчисидан фақатгина рақамларининг циклик алма- шиниши билан фарк қилишини биз юқорида кўриб ўтган эдик.
Айтайлик, 5,,+r, бўлсин. У ҳолда иккинчи йўл каср- лари ҳосил бўлиб, уларнинг даври ҳам m га тенг бўлади. S_i ва r^i – 0, m – 1) лардан фарқли бирор с_п< <<р(6) ни олсак, учинчи касрлар системаси ҳосил бў- лади. Бу жараённи давом .эттириб, биз d та касрлар сиетемаоига эга бўламиз.
Шуни алоҳида эслатиб ўтиш лозимки, ту.рли касрлар системасининг даври бири иккинчисидан циклли ал- маштириш ёрдамида ҳосил бўлмайди.
Aгap тўғри касрнинг махражи берилган бўлса, бу касрга тенг бўлган ўнли касрнинг давр узунлигини индекслар ёрдамида топиш мумкин. Буни қуйилаги мисолда кўриб ўтамиз:
2-ҳол Қисқармайдиган – каср махражининг каноник ёиилмасида 2 ёки 5 қатнашсин, яъни (b; 10)=1 бўлмай, балки й=2^а-5^р-6, бўлсин. Bv ерда (6,; IOl =1 бўлиши равшан. я ва P ларнннг энг капасини п деб белгилайлик.

Эн!ди (£,; 10) = 1 бўлгани учун қисқармас коср ни ўнли касрга айлантириш мумкин. У

тенглйк ҳосил бўлади:
экан. Шунда I қилиб, (£; 10)=^=1 бўлганда ~ касрни
ўнли касрга айлантирганда аралаш даврий каср ҳосил бўлиб, унинг давр узунлиги 10 сони 6, модуль бўйича тегишли бўлгам m кўрсаткичга тенг бўлади. Вергул- дан кейинги д; вргача б^лган рақамлар сони эса / = = шах(а; fi) орқали аницланадй.