28 – Иккинчи тартибли сиртлар хакида тушунча

28 – Иккинчи тартибли сиртлар хакида тушунча. Иккинчи тартибли сиртнинг умумий тенгламаси.


Декарт координаталар системасида координаталари (28.1) тенгламани каноатлантирувчи нуқталарнинг геометрик урни сирт дейилади. Сиртнинг бу таърифа умумий бўлиб, (28.1) тенглама чекли сондаги нуқталар тупламини, чексиз куп нуқталар тупламини ёки умуман нуқталар тупламини ифодалаши мумкин. Масалан: тенглама битта (0,2,1) нуқтани ифодалайди, тенглама эса умуман нуқтани ифодаламайди. Демак x, y, z катнашган хар кандай тенглама сиртни ифодалайвермас экан. Энди сирт тенгламасини катий таърифини берамиз:
(28.2) тенглама бирор S сиртнинг тенгламаси дейилади, агар шу сиртда ётган хар бир нуқтанинг координаталари (28.1) тенгламани каноатлантирса ва сиртда ётмаган нуқтанинг координаталари (28.1) тенгламани каноатлантирмаса.
Фазода сирт тенгламаси берилган бўлса, сирт берилган дейилади. Сиртлар учун хам қуйидаги икки масала ечилади:

1. 
   Фазода сиртнинг умумий хоссасидан фойдаланиб, унинг тенгламасини тузиш.
   
2. 
   Фазода бирор сирт тенгламаси билан берилган бўлса, шу тенглама билан берилган сиртни ясаш.
   

Масала: C (a;b;c) нуқтадан баробар узокликда турган нуқталар геометрик урнинг тенгламасини тузинг.


Ечиш: Масалада тенгламаси тузилиши талаб килинаётган сирт бу, равшанки – сферадир. Фзода Декарт координата системасини караймиз. Сирт устидан координаталари ўзгарувчи нуқта оламиз, масала шартига кура узгармас ёки
ёки
(28.3)
z




y
o
x
(28.3) тенглама сферанинг каноник тенглама C (a;b;c) унинг маркази ва R радиуси дейилади. Хсусий холда бўлса (28.3) қуйидаги (28.4) куринишни олади.
(28.4) тенглама маркази координата бошида ва радиуси R бўлган сферани ифодалайди.
қуйидаги (28.5) тенглама билан ифодаланадиган сиртда иккинчи тартибли сирт дейилади, бу ерда .
(28.5) тенглама иккинчи тартибли сиртнинг умумий тенгламаси дейилади. Биз бўлган холни, яъни (28.6) тенгламага караймиз. Равшанки (28.3) тенгламада кавсларни очиб чксак (28.6) тенглама ухшаш тенглама хосил бўлади. Демак сфера иккинчи тартибли сирт экан.
Такидлаймизки (28.6) тенгламада А = В = С бўлса, тенглама сферани ифодалайди. Умуман айтганда барча иккинчи тартибли сиртларни бирор хоссасига асосланиб тенгламасини чикариб бўлмайди. Купинча аналитик геометрияни иккинчи масаласини ечишга, берилга тенгламакга асосан уни ясашга тўғри келади. Бу масала купинча параллел кесимлар усули деб аталувчи усул оркали ечилади. Бу усулнинг мохияти қуйидагидан иборат: сирт координата текисликлари x = 0, y = 0, z = 0 ва уларга параллел бўлган текисликлар билан кесиши текширилади. Сунгра кесиш натижасида хосил бўлган эгри чизиқларни тахлил килиб сиртнинг узи ясалади. Масалан: кандайдир номаълум сирт берилган, уни x = 0, y = 0, z = 0 текисликлар билан кесиш натижасида бирхил радиусни айлана хосил бўлсин.
Равшанки бундай хоссага эга бўлган сирт сферадир.