3-Mavzu. Matematik analizga kirish

3-Mavzu. Matematik analizga kirish

O'zgaruvchi va o'zgarmas miqdorlar. To'plamlar va ular ustida amallar. Mantiqiy amallar. Ketma-ketlikning limiti. Funksiya tushunchasi. Funksiyaning limiti. Limitlar haqida asosiy teoremalar. Bir tomonlama limitlar. Cheksiz kichik va cheksiz katta miqdorlar. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar.

To'plamlar.

REJA:

1. 
   To‘plam tushunchasi
   
2. 
   To‘plamlar ustida amallar
   
3. 
   Asosiy mantiqiy amallar
   
4. 
   Predikatlar
   
5. 
   Kvantorlar
   

Tayanch so‘zlar: To‘plam, kesishma, birlashma, to‘ldiruvchi, formula, konyunksiya, dizyunksiya, implikatsiya, ekvivalensiya, predikat, kvantor,limitlar,miqdorlar,ajoyib limitlar

To’plam tushunchasi. To’plam tushunchasi matematikaning bosblang'ich tushunchalaridan biri bo’lib, uni misollar yordamida tushun- tiriladi. Masalan, shkafdagi kitoblar, barcha to'g'ri kasrlar, quyosh sistema-sidagi sayyoralar, berilgan nuqtadan o’tuvchi to’g'ri chiziqlar to’plami haqida gapirish mumkin. To’plamni tashkil etgan narsalar (predmetlar) uning elementlari deb ataladi.

Odatda, to’plamlar bosh harflar bilan, uning elementlari esa kichik harflar bilan belgilanadi. Masalan, larni to’plam, larni esa to’plam elementlari deyish mumkin.

Agar to’plamning elementi bo’lsa, yoki kabi yoziladi va " element to’plamga tegishli" deb o’qiladi. Aks holda yoki deb yoziladi va " element to’plamga tegishli emas" deb o’qiladi. Masalan, bo’lsa, , bo’ladi.

Chekli sondagi elementlardan tashkil topgan to’plam chekli to’plam deb ataladi. Masalan, yuqorida keltirilgan to’plamlardan shkafdagi kitoblar chekli to’plamni tashkil etadi.

Matematikada ko’pincha chekli bo’lmagan to’plamlarni–cheksiz to’plamlarni qarashga to’g’ri keladi. Masalan, barcha to’gri kasrlar, barcha natural sonlar, berilgan nuqtadan o’tuvchi barcha to’gri chiziqlar to’plami cheksiz to’plamlarga misol bo’la oladi. Barcha natural sonlardan iborat to’plam harfi bilan belgilanadi va yoki kabi yoziladi. Yana bir misol sifatida to’plamni kel-tiraylik. Bu to’plam tenglama ildizlaridan tashkil topgan.

Yuqorida biz to’plam uning barcha elementlariga xos bo’lgan xusu-siyatni, qoidani keltirish bilan berilishini, shuningdek, uning barcha element-larini bevosita ko’rsatish bilan berilishini ko’rdik. Ayrim vaqtlarda to’plam tabiatan qanday xususiyatga ega bo’lgan elementlardan tashkil topganligi ma’-lum bo’lsa ham, bunday xususiyatli elementlar mavjud bo’lmasligi mumkin. Masalan, to’plam tenglamaning natural sonlar to’plamidagi ildizlaridan tashkil topgan deyilsa, bu to’plamning bitta ham elementi yo’qligi ma’lum bo’ladi. Bunga sabab, berilgan tenglamaning natural sonlar to’plamida ildizga ega emasligidir. Bundan ko’rinadiki, elementga ega bo’lmagan to’plamlarni ham ko’rishga to’g’ri keladi.

Bitta ham elementga ega bo’lmagan to’plam bo’sh to’plam deyiladi va Ø kabi belgilanadi.

Shuni ta’kidlash lozimki, to’plamni aniqlashda uni tashkil etgan element-lar orasida aynan bir–biriga teng bo’lgan elementlar to’plamning elementi sifatida faqat bir martagina olinadi. Masalan, to’plam tengla-maning ildizlaridan iborat bo’lsin. Bu tenglamaning ildizlari bo’lib, ulardan tuzilgan to’plam deganda biz va elemenlardan tuzil-gan to’plamni tushinamiz.

Ko’pincha to’plamlar, ular chekli yoki cheksiz bo’lishidan qat’iy na-zar, simvolik ravishda tekislikda biror shakl, masalan, doirachalar bilan tasvir-lanadi. Bu esa to'plamlar ustida bajarilgan amallarni tasavvur qilishda, ular orasidagi munosabatlarni o'rganishda ancha qulaylik tug'diradi (l–chizma ).

Agar to’plamning har bir elementi to'plamning ham elementi bo'lsa, to'plam to'plamning qismi yoki qismiy to’plami (to’plam osti) deb ataladi va kabi belgilanadi (2–chizma). Masalan, , bo’lsin. Bunda ekanligini ko'rish qiyin emas.

Bo’sh to'plam Ø har qanday to'plamning qismi (qismiy to’plami) deb hisoblanadi. Biror to’plam berilgan bo'lsin. Bu to'plamning barcha qismiy to'plamlaridan iborat toplamni kabi belgilaymiz. Ravshanki,

Ø , .

A

A

B

B

1–chizma. 2–chizma.

to’plam elementlarining o’zi to’plamdir. Masalan, , to’plam uchun

bo’ladi.

1–ta'rif. Agar bo’lsa, va teng to’plamlar deyiladi. Bu hol kabi yoziladi. Masalan, to’plam ko’rinishdagi sonlardan iborat bo’lsin, bunda ya’ni , to’plam esa tenglamaning yechimlaridan iborat bo’lsin, ya’ni . Agar tenglamaning barcha echimlari formula bilan yozilishini hisobga olsak, bo’lishini ko’ramiz.