3-Mavzu. Matematik analizga kirish

6–ta'rif. Barcha korinishdagi juftliklardan tuzilgan to’plam va to’plamlarning Dekart ko’paytmasi deb ataladi. To’plamlarning Dekart ko’-paytmasi kabi belgilanadi. Odatda to’plam deb belgilanadi: . Bunda va juftliklar turli elementlar hisoblanadi.

Masalan, to’ plamlar uchun



bo’ladi. Yuqorida to’plamlarni va ular ustida bajarilgan amallarni tasvirlash uchun ishlatilgan shakllar Eyler-Viyen diagrammalari deb ataladi (1–6–chiz-malar).

l.l–misol. to’plamlar uchun tenglik-ning o’rinli bo’lishi isbostansin.

◄Aytaylik, bo’lsin. Unda bo’ladi. , bo’lganda bo’lib, ; , bo’lganda ham bo’lib, yana bo’ladi.

Demak,



bo’ladi.

Aytaylik, bo’lsin. Unda bo’lganda , bo'lib, ; bo’lganda , bo’lib, yana bo’ladi.

Demak,

bo’ladi. va munosabatlardan bo’lishi kelib chiqadi.

1.2–misol. va to’plamlarda ushbu

tenglikning o’rinli bo’lishi uchun bo’lishi zarur va yetarli ekanligi isbotlansin.

◄ Aytaylik, bo’lsin. Qo’shiluvchilarning har biri yig’in-dining qismi bo’lishidan, ekanligini topamiz.

Aytaylik, bo’lsin. Unda bo’lib,

bo’ladi.►

3. Universal to’plam. Yuqorida kiritilgan amallar ixtiyoriy to’plamlar uchun, to’plamlarning tabiatiga hech qanday shart qo’ymasdan ta’riflandi. Ammo bunday “umumiylik” ba’zan konkret hollarda ma’noning yo’qolishiga olib kelishi mumkin. Masalan, to’plam sifatida sonlar to’pla-mini: , to’plam sifatida quyosh sistemasidagi sayyoralar to’p-lamini olsak, ularning yig’indisi va ko’paytmasi formal aytila olinsa ham, muayyan g’ayritabiiylikka olib kelishi ravshan. Bunday ma’nosizlik hollarini istisno qilish uchun, odatda barcha amallar biror universal to’plam deb ataluvchi to’plamning qismiy to’plamlari ustida bajariladi deb hisoblanadi. Bu universal to’plam U yoki Ωbilan belgilanadi. Masalan, yuqorida keltirilgan sonli misollarda universal to’plam sifatida natural sonlar to’plami U olinishi mumkin. Eyler-Viyen diagrammalari uchun esa U sifatida tekislikning nuqtalari to’plami olinishi mumkin.

Matematik analiz kursi davomida, universal to’plam sifatida asosan haqiqiy sonlar to’plami (qarang 2–bob, 4–§) qaraladi.

4. To’plamni bo’laklash. Biror to’plam berilgan bo’lib, to’plamlar uning qismiy to’plamlari bo’lsin: .

Agar qismiy to’plamlar sistemasi uchun:

shartlar bajarilsa, sistema da bo’laklash bajargan yoki to’p-lam to’lamlarga bo’laklangan deyiladi. Ba’zan ni dagi bo’laklash, larni esa bo’laklashning elementlari deyiladi. Ikkala shart birgalikda dagi har bir element bo’laklashning bitta va faqat bitta elementiga tegishli bo’lishini ta’minlaydi.

Tabiiyki, bitta to’plamda turli bo’laklashlar bajarilgan bo’lishi mumkin.