3-Mavzu. Matematik analizga kirish

Funksiyaning berilish usullari. Funksiya ta'rifidagi har bir ga bitta ni mos qo’yadigan qoida yoki qonun turli usulda berilishi mumkin. Biz ularni qisqacha qarab o’tamiz.

Ko’pincha va o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish formulalar yordamida ifodalanadi. Bunda argument ning har bir qiymatiga mos kela-digan funksiyaning qiymatini ustida turli amallar–qo’shish, ayirish, ko’paytirish, bo’lish, darajaga ko’tarish, ildiz chiqarish, logarifmlash va h.k. amallarni bajarish natijasida topiladi. Odatda bunday usul funksiyaning analitik usulda berilishi deyiladi.

Misollar keltiraylik:

1). va o’zgaruvchilar ushbu

formula yordamida bog’langan bo’lsin. Bu funksiyaning aniqlanish sohasi to’plamdan iborat. Bunda har bir ga mos keladigan ning qiymati avvalo ni kvadratga ko’tarish, so’ngra uni dan ayirish va bu ayirmadan kvadrat ildiz chiqarish kabi amallarni bajarish natijasida topiladi.

2). va o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish quyidagi formulalar yordamida berilgan bo’lsin:

Bu funksiyaning aniqlanish sohasi bo’lib, uning qiymatlari sohasi to’plamdan iborat. Odatda bu funksiya

kabi belgilanadi. Bunda lotincha signum so’zidan olingan bolib, "belgi", "ishora" degan ma’noni anglatadi.

Bu funksiyaning nuqtadagi qiymati nolga teng deb qabul qilsak, u to’plamda aniqlangan bo’ladi.

Ba’zi hollarda va o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanich fo’rmulalar yordamida berilmasdan jadval orqali berilgan bo’lishi mumkin. Masalan, kun davomida havo haroratini kuzatganimizda, t vaqtda havo harorati T, t vaqtda havo harorati T va h.k. bo’lsin. Natijada quyidagi jadvalga kelamiz:

Vaqt, t	t	t	t	t	………	t k
Harorat, T	T	T	T	T	………	T k

Bu jadval t vaqt bilan ayni paytdagi havoning harorati T orasidagi funksional bog’lanishni ifodalaydi, bunda t argument, T esa funksiya bo’ladi. O’zgaruvchilar orasidagi bog’lanishning bunday berilishi funksiyaning jadval usulida berilishi deb ataladi.

tekislikdagi shunday L chiziq berilgan bo’lsinki , o’qida joylashgan nuqtalardan shu o’qqa o’tkazilgan perpendikulyar bu L chiziqni faqat bitta nuqtada kesib o’tsin.

o’qidagi bunday nuqtalardan iborat to’plamni orqali belgilaylik. to’plamdan ixtiyoriy ni olib, bu nuqtadan o’qiga perpendikulyar o’tkazamiz. Bu perpendikulyarning L chiziq bilan kesishgan nuqtasining ordinatasini bilan belgilaymiz va olingan ga bu ni mos qo’yamiz. Natijada to’plamdan olinga har bir ga yuqorida ko’rsa-tilgan qoidaga ko’ra bitta mos qo’yilib, funksiya hosil bo’ladi. Bunda va o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish L chiziq yordamida berilgan bo’ladi

Odatda ning bunday berilishi funksiyaning grafik usulda berilishi deb ataladi.

Shunday qilib, biz funksiyani funksiyaning analitik, jadval, grafik usullarda berilishini ko’rib o’tdik. va o’zgaruvchilar orasidagi funksional bog’lanish yuqoridagi uchta usul bilangina berilib qolmasdan, boshqacha, faqatgina iboralar bilan ham berilishi mumkin. Masalan, har bir natural songa uning bo’luvchilari sonini mos qo’yaylik. Bu moslikni orqali belgilaymiz. Xususan,

Odatda bu funksiya Eyler funksiyasi deyiladi.

Matematik analiz kursida asosan analitik usulda berilgan funksiyalar o’rganiladi.

to’plamda funksiya aniqlangan bo’lsin. Agar bu funksiya qiymatlaridan tuzilgan

to’plam yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo’lsa, funksiya to’plam-da yuqoridan ( quyidan) chegaralangan deb ataladi, aks holda esa funk-siya yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan deyiladi. Agar funksiya to’plamda ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan bo’lsa, funksiya to’plamda chegaralangan deyiladi.

to’plamda aniqlangan ikki hamda funksiyalarni qaraylik.

Agar da bo’lsa, bu funksiyalar to’plamida bir– biriga teng funksiyalar deyiladi.

to’plamda aniqlangan funksiya va funksiyalarning yig’indisi deb aytiladi. Ikki funksiya ayirmasi, ko’paytmasi, va nisbati shunga o’xshash ta’riflanadi.

Juft va toq funksiyalar. Agar uchun bo’lsa to’plam nuqtaga nisbatan simmetrik to’plam deyiladi.

nuqtaga nisbatan simmetrik bo’lgan to’pamda funksiya aniqlangan bo’lsin. Agar uchun

bo’lsa, juft funksiya deb ataladi. Agar uchun

bo’lsa, toq funksiya deb ataladi. Masalan,

funksiyalar uchun

bo’lganligi sababli ular juft funksiyalardir.

Ushbu

funksiya uchun

bo’lganligi sababli ular toq funksiyalardir.

Shuni ta’kidlash lozimki, funksiya har doim juft yoki toq funksiya bo’lavermaydi. Bunday funksiyalarga lar misol bo’la oladi. Bu funksiyalar juft ham emas, toq ham emas.

Juft funksiyaning grafigi ordinata o’qiga nisbatan simmetrik joylash-gandir. Haqiqatan, bunday funksiyalar uchun nuqta funksiya grafigida yotgan bo’lsa, nuqta ham shu grafikda joylashgan bo’ladi (14–chizma).

Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik joy-lashadi. Haqiqatan, bu funksiya grafigida nuqta bilan birga har doim nuqta ham yotadi.

Davriy funksiyalar. Aytaylik, funksiya to’plamda berilgan va bo’lib, bo’lsin.

Ta’rif. Agar

1. 
   da
   

2)

bo’lsa, davriy funksiya, soni esa funksiyaning davri deyiladi.

Agar davriy funksiya bo’lib, uning davri ga () teng bo’lsa, ko’rinishdagi sonlar ham shu funksiyaning davri bo’ladi. funksiyaning musbat davrlari to’plamini deb belgilaylik. Agar

ham funksiyaning davri, ya’ni bo’lsa, uni eng kichik musbat davr (asosiy davr) deyiladi. Eng kichik musbat davr mavjud bo’lishi ham mumkin, mavjud bo’lmasligi ham mumkin.

Monoton funksiya. Teskari funksiya. Murakkab funksiya. Faraz qilaylik, funksiya to’plamda berilgan bo’lsin.

Tarif. Agar uchun

bo’lsa, funksiya to’plamda o’suvchi,

bo’lsa, funksiya to’plamda qat’iy o’suvchi deyiladi.