4-§. Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar Asosiy tushunchalar

4.5-Teorema. (4.2) tenglamaning yechimlari oraliqda chiziqli erkli bo’lishi uchun, bo’lishi zarur va yetarli.

8-Misol. tenlamaning yechimlaridan iborat sistema berilgan tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lishini isbotlang.

Yechish. 4.3 ta’rifga asosan funksiyalar berilgan tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lishini uchun bu funksiyalar chiziqli erkli bo’lishi kerak, buning uchun esa 4.5-teoremaga asosan bo’lishi zarur va yetarli. (4.6) formula bo’yicha ni hisoblaymiz:





Demak funksiyalar sistemasi chiziqli erkli, ya’ni yechimlaridan iborat sistema berilgan tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi bo’ladi.

Eslatma. Agar n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning xususiy yechimi berilgan bo’lsa, , almashtirishlar orqali tenglamani (chiziqliligini saqlagan holda) tartibini bittaga pasaytirish mumkin.

Agar tenglamaning biror xususiy yechimi ma’lum bo’lsa, quyidagi

(4.7)

Ostragradskiy-Liuvill formulasi orqali xususiy yechim bilan chiziqli erkli bo’lgan ikkinchi xususiy yechim topiladi.

1^ Yuzef Vronskiy (1776-1853)-Polshalik matematik va faylasuf