4-ma’ruza Birgalikda bo`lgan hodisalarning ehtimollarini qo`shish teoremasi. To’la ehtimol va Beyes formulasi. Sinashlarning takrorlanishi. Bernulli sxemasi. Muavr-Laplas teoremalari. Laplas funksiyasi va uning xossalari

Beyes formulasi

• Beyes formulasi

• A va

• Agar A hodisa ro‘y bersa, u holda Hm gipotezaning shartli ehtimoli quyidagi Beyes formulasidan topiladi:

• hodisalar shartlarni qanoatlantirsin.

• bu yerda

• – aprior (sinovdan oldingi) ehtimollar,

• – aposterior (sinovdan keyingi) ehtimollar deyiladi.

• Uchta mergan nishonga bittadan o‘q uzadi. Birinchi merganning o‘qi nishonga 0,6 ehtimol bilan, ikkinchi merganning o‘qi nishonga 0,8 ehtimol bilan, uchinchi merganning o‘qi esa 0,3 ehtimol bilan tegadi. Uchala mergan o‘q uzgandan so‘ng nishonga ikkita o‘q tekkanligi ma’lum bo‘lsa, birinchi merganning o‘qi nishonga tegish ehtimolini toping.

• Misol

• Yechish. Tajriba o‘tkazishdan oldin quyidagi gipotezalarni qo‘yamiz.

• ={birinchi merganning otgan o‘q nishonga tegadi},

• ={birinchi merganning otgan o‘q nishonga tegmadi}.

• Bu gipotezalarning ehtimollari

• ,

• A hodisa quyidagicha bo‘ladi:

• A = {uchta otilgan o‘qdan ikkitasi nishonga tegdi}.

• Bu hodisani

• va

• gipotezalar ostidagi shartli ehtimollarini topamiz.

• o‘qi nishonga tegadi. Shuning uchun

• hodisa ro‘y berganda qolgan ikkita mergan ichidan faqat bittasining

• Tushunarliki,

• shartli ehtimol 0,80,3 ko‘paytmasiga,

• ya’ni 0,24 ga teng.

• Endi so‘ralgan

• ehtimolni Beyes formulasi bo‘yicha topamiz:

• Tajribalar takrorlanishida ya’ni bir nechta tajriba natijasida A hodiasning ro’y berish ehtimoli boshqa sinashlariga bog’liq bo’lmasa bunday tajribalar A hodisaga nisbatan erkli deyiladi.

• Har xil erkli sinashlarda A hodisa bir xil ehtimolga ega bo’lishi mumkin.

• A hodisaning har bir tajriba natijasida ro’y berish ehtimoli p bo’lsa, ro’y bermaslik ehtimoli p bo’lsa, ro’y bermaslik ehtimoli q=1-p ga teng bo’ladi. Faraz qilaylik A hodisa k marta ro’y berishi, ya’ni n-k marta ro’y bermaslik ehtimolini hisoblash talab qilinsin.

• Bu yerda A hodisaning ketma-ket k marta ro’y berishi talab qilinmaydi. Masalan A hodisaning to’rtta erkli tajriba natijasida quyidagi hollar bo’lishi mumkin. (uch marta ro’y berishi)

• Bu yerda

• hodisa A ga qarama-qarshi hodisadir. Izlanayotgan hodisa

• k marta ro’y berishini bildiradi.

• ko’rinishda belgilanib, u A hodisaning n ta erkli tajribada

• Qo’yilgan masala Bernulli formulasi orqali aniqlanadi. Bernulli formulasi quyidagicha keltirib chiqariladi. A hodisaning k marta ro’y berib n-k marta ro’y bermaslik, ehtimoli erkli hodisalar ehtimollari ko’paytmasidan iborat bo’ladi.

•