4-ma’ruza Birgalikda bo`lgan hodisalarning ehtimollarini qo`shish teoremasi. To’la ehtimol va Beyes formulasi. Sinashlarning takrorlanishi. Bernulli sxemasi. Muavr-Laplas teoremalari. Laplas funksiyasi va uning xossalari

Bernulli formulasi

• Bunday hodisalar soni

• bo’lmaganligi uchun ularning ehtimoli qo’shish teoremasiga asosan ehtimollar yig’indisiga teng bo’lib ular ehtimoli o’zaro teng bo’lgani uchun

• ga teng bo’ladi. Bu murakkab hodisalar birgalikda

• yoki

• bo’lib, hosil qilingan formula Bernulli formulasi deyiladi.

• Bir sutkada elektr energiya sarfining belgilangan normadan ortib ketmaslik ehtimoli

• elektr energiya sarfining normadan ortib ketmaslik ehtimolini toping.

• Masala:

• ga teng. Yaqin 6 sutkaning 4 sutkasi davomida

• Yechish. 6 sutkaning har birida elektr energiyabibg normada sarflanishi ehtimoli o’zgarmas va

• sutkada elektr energiyaning normadan ortiq sarflanish ehtimoli ham o’zgarmas va

• ga teng.

• ga teng. Demak, har bir

• Izlanayotgan ehtimol Bernulli formulasiga ko’ra quyidagiga teng:

• Muavr-Laplasning lokal teoremasi.

• Berilgan A hodisaning n ta tajribada k marta ro’y berish ehtimolini Bernulli formulasi yordamida hisoblash mumkin. Lekin, n yetarlicha katta bo’lganda Bernulli formulasidan foydalanish noqulay va aniqmaslikka olib keladi.

• Masalan n=60, k=40, p=0,1 bo’lsa

• Munosabatdagi sonlar yetarlicha katta bo’lib ularni taqribiy hisoblashda xatoliklarga yo’l qo’yilib, yaxshi natijaga ega bo’linmaslik mumkin. Savol tug’iladi bu ehtimolni hisoblashning aniqroq va qulayroq yo’li yo’qmi degan savolga ijobiy javob beriladi. n ning yetarlicha katta qiymatlarida bu savolga Muavr-Laplasning lokal teoremasi javob beradi. Bu teorema orqali Pn(k) ehtimolni hisoblashning asimptotik formulasini aniqlab, yetarlicha katta n lar uchun yanada aniqroq natija beradi. Quyida
• keltiriladigan teoremalarni Muavr xususiy holda

• Laplas 1793-yilda ixtiyoriy

• uchun isbotlaganlar.

• da 1730-yilda,

•