4-mavzu: Ikki vektorning vektor ko‘paytmasi va uning xossalari. Uchta vektorning aralash ko‘paytmasi va uning geometrik ma’nosi. Dars rejasi

3⁰. Har bir vektor berilgan baziste o'zining koordinatalari bilan aniqlanadi.
Koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar
V₃ vektor Fazoda bazisga nisbatan va vektorlar quyidagi koordinatalarga ega bo`lsin:

dan
va vektorlarni qo`shamiz:

Bu tengliklardan vektorlarni qo`shish va songa ko’paytirish a’mallarining xossalari boyicha
.
Demak ikki vektorning yig`indisi koordinatalari qo`shiluvhi vektorlarning mos koordinatalarining yig`indisidan iborat.
Shu singari ning koordinatalari:

vektorning songa ko’paytmasining koordinatalari :
.¹.
Koordinatalar sistemasidagi vektorlar
Vektorlarga taaluqli hisoblashlarni koordinatalar sistemasida bajarish qulay. To‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida vektorning boshini nuqtaga joylashtiraylik. Vektorning oxiri esa bo‘lsin. U holda vektorni ham ko‘rinishda belgilash mumkin. Bunda – radius-vektor, sonlar – vektorning Dekart koordinatalari bo‘ladi. Ravshanki, va hamda vektorlar yig‘indisi ko‘rinishda, esa ko‘rinishda bo‘ladi.
Endi vektorning Ox, Oy, Oz koordinata o‘qlari bilan hosil qilgan burchaklari mos ravishda bo‘lsin. Ma’lumki, ; ; . Demak, . Odatda sonlar vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari deb ataladi.
Endi o‘qlarning musbat yo‘nalishlarida uzunliklari birga teng bo‘lgan vektorlar olib, ularni mos ravishda orqali belgilaylik. Tanlanishiga ko‘ra bu vektorlarning koordinatalari .
U holda vektorni ko‘rinishda yozish mumkin. Oxirgi tenglik vektorni vektorlar bo‘yicha yoyish, vektorlar esa vektorning koordinata o‘qlaridagi proeksiyalari deyiladi. Masalan, bo‘lsa, va va vektorlar vektorning proeksiyalari.

Agar va vektorlar bir to‘g‘ri chiziqda yoki parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotsa, bu vektorlar kollinear vektorlar deb ataladi. Demak, kolliniearlik sharti tenglikni qanoatlantiruvchi sonning mavjudligidan iborat. Koordinatalari ko‘rsatilgan va vektorlar uchun kollinearlik shartini ko‘rinishda yozish mumkin. Bu holda belgilashdan foydalanamiz.
Endi tekislikda ikkita va vektorlar olib ular orasidagi burchakni topishga harakat qilamiz. Aytaylik burchak, va orasidagi, burchak, va orasidagi va burchak, va vektorlar orasidagi burchaklar bo’lsin. U holda . Ravshanki ; ; ; . Demak,
,
ya’ni . Kasrning suratidagi ifoda muhim fizik ma’noga ega bo‘lib, u va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi.
Shunday qilib, yoki .
Fazodagi va vektorlar uchun ham ifoda skalyar ko‘paytma deyiladi. Ikki vektor orasidagi burchak bo‘lsa, vektorlar perpendikular deyiladi va ko‘rinishda yoziladi. Bu holda . Xullas vektorlarning perpendikulyarlik sharti tenglikdan iborat.
Skalyar ko‘paytma tushunchasi texnika va fizikada ko‘p ishlatiladi. Masalan, o‘zgarmas kuch ta’sirida tezlikda harakatlanayotgan moddiy nuqtaning vaqtda bajargan ishi formuladan topiladi.¹