4. Xosmas integralnin geometrik masalalarga tadbiqi

> restart;
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> plot(1/(1+x^2), x=-6..6, y=-1..2,color= blue, thickness=2);


.
Demak, bu xosmas integral yaqinlashuvchi va uning son qiymati ga tengdir.
> int( 1/(1+x^2), x=0..infinity );
2-misol. xosmas integralni  ga nisbatan tekshiring (R)
Yechish. Agar 1 bo`lsa, .
Bu yerda ikki holni farqlashga to`g`ri keladi.
a) >1  1-< 0   -1 >0 bo`lib,
,
ya`ni bu holda xosmas integral yaqinlashuvchi ekan.
b) ifoda 1->0 bo`lganligi sababli b^1- + , ya`ni
.
Demak, bu holda xosmas integral uzoqlashuvchidir.
Endi =1 holni qarasak, b >1 bo`lganda

ekanligidan xosmas integralning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, xosmas integral >1 bo`lganda yaqinlashuvchi bo`lib, 1 bo`lganda esa uzoqlashuvchidir.
Eslatma. Xosmas integralni yuqoridagi misoldagiga o`xshash tekshirish uni yaqinlashishga tekshirish deb atalib, bunda uning qiymatini, agar talab qilinmagan bo`lsa, topish (hisoblash) shart emasdir.
Yuqorida ko`rilgan misollardan integral osti funksiyasining boshlang`ich funksiyasi F(x) ning xosmas integral yaqinlashuvchi bo`lishi uchun x+ dagi chekli limiti mabjud bo`lishi kerak ekanligini ko`ramiz. Quyidagi teorema o`rinlidir.
1-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, bu oraliqda uning boshlang`ich funksiyasi F(x) mavjud va x+ da chekli limitiga ega bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot.
.
Bu yerda belgilashdan foydalandik. Teorema sharti asosida F(+) chekli limit mabjudligidan xosmas integralning yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.
2-teorema. Agar f(x) va (x) funksiyalar [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz x[a;+) f(x) (x) 0 tengsizlik o`rinli bo`lib,
1) yaqinlashuvchi bo`lsa, ham yaqinlashuvchi bo`ladi;
2) uzoqlashuvchi bo`lsa, ham uzoqlashuvchi bo`ladi;

Navbatdagi teoremani keltirish avvalida integralga tegishli yana bir tushunchani kiritamiz. Agar f(x) funksiya absolut qiymatining biror oraliq bo`yicha (cheklimi yoki cheksizmi) integrali mabjud bo`lsa, bu funksiya shu oraliq bo`yicha absolut integrallanuvchi deyiladi, ya`ni
mabjud bo`lsa, f(x) (a;b) oraliqda absolut integrallanuvchidir.
3-teorema. Agar f(x) funksiya [a;+) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, shu oraliqda absolut integrallanuvchi bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi bo`ladi.
4-teorema. Agar f(x) va (x) [a;+) oraliqda uzluksiz va manfiy bo`lmagan funksiyalar bo`lib, chekli limit mabjud bo`lsa, va xosmas integrallarning ikkalasi ham yaqinlashuvchi yoki ikkalasi ham uzoqlashuvchi bo`ladi, ya`ni ulardan biri yaqinlashuvchi boshqasi uzoqlashuvchi bo`laolmaydi.
1-eslatma. Agar 4- teoremada bo`lsa, u holda
a) yaqinlashuvchi bo`lsa yaqinlashuvchi;
b) uzoqlashuvchi bo`lsa, uzoqlashuvchi bo`lishi kelib chiqadi, ammo, bir xil tabiatli ekanligi kelib chiqmaydi.
2-eslatma. Yuqorida keltirilgan teoremalar xosmas integralning yaqinlashish belgilari deb yuritiladi.
2. Xuddi yuqoridagidek, agar f(x) funksiya (-; a] oraliqda uzluksiz bo`lsa,
(b)
deb qabul qilib, bu oraliq uchun ham xosmas integral tushunchasi kiritiladi. Bu yerda 2a-x=t almashtirish bilan yuqoridagini (t)=-f(2a-t) funksiyaning xosmas integraliga keltirish mumkin. Demak, yuqoridagi yaqinlashish belgilari bu yerda ham o`rinlidir.
3. Agar f(x) funksiya (-;+) oraliqda uzluksiz funksiya bo`lsa, ixtiyoriy
a(-;+) nuqtani olib, (-;+) oraliq uchun xosmas integral tushunchasi


ko`rinishda kiritiladi. Ko`pincha a=0 deb olinadi.
3-misol , .