4. Xosmas integralnin geometrik masalalarga tadbiqi

Teorema: Aytaylik,f(x) funksiya [a,b) yarim segmentda uzluksiz va manfiy bo’lmasin, hamda bo’lsin. U vaqtda agar bo’lganda limit mavjud va chekli bo’lsa, u holda (19) integral yaqinlashadi; bo’lganda chekli yoki cheksiz limit mavjud bo’lsa u holda (19) integral uzoqlashadi.
Birinchi holda ning dagi limiti J ga teng bo’ladi, bunda J son nol ham bo’lishi mumkin. M>J musbat sonni olamiz, u vaqtda ko’paytma x ning b ga yaqin qiymatlarida M dan kichik bo’ladi, ya’ni bunda c son b ga shunchalik yaqin qilib tanlanadiki, natijada [c,b) yarim segmentda oxirgi tengsizlik o’rinli bo’lsin. Bu tengsizlikdan
hosil bo’ladi. Shunday qilib (18) tengsizlik kelib chiqadi va isbotlangan teoremaga asosan ushbu integral yaqinlashadi. U holda tenglikdan (19) integralning yaqinlashishi kelib chiqadi.
Ikkinchi holda ko’paytma da limitga ega . Shunday musbat Mtengsizlikning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi, bunda . Demak (20) tengsizlik hosil bo’ladi. Isbotlangan teoremaga asosan -integral uzoqlashadi. Bu esa

integralning uzoqlashuvchi ekanligini isbotlaydi. Teorema isbot bo’ldi.
Eslatma. Bu yetarli belgi x=a nuqta f(x) funksiya uchun maxsus nuqta bo’lganda ham o’z kuchini saqlaydi. Bu holda da ko’paytmaning limitini topish kerak. Agar bu ko’paytma da chekli limitga ega bo’lsa, bo’lganda (19) integral yaqinlashadi. Agar bo’lgan holda ko’paytma da chekli yoki cheksiz limitga ega bo’lsa, u holda (19) integral uzoqlashadi.
Misollar:
Ushbu integral tekshirilsin: .
Yechish: x=1 maxsus nuqta.
bundan
bo’lgani uchun integral yaqinlashadi.
2. Ushbu integral tekshirilsin: Yechish: x=1 maxsus nuqta ,
bo’lgani uchun integral uzoqlashadi.