4. Xosmas integralnin geometrik masalalarga tadbiqi

Misollar.

1. 
   Ikkinchi tur xosmas integral hisoblansin:
   

Yechish: x=1 maxsus nuqta. Ta’rifga asosan:

Demak xosmas integral yaqinlashadi.

2. 
   ni qanday qiymatlarida ushbu ikkinchi tur xosmas integral yaqinlashadi?
   

Yechish: x=0 maxsus nuqta. Ta’rifga asosan:

bo’lganda

Demak, xosmas integral 1 bo’lganda yaqinlashadi, bo’lganda uzoqlashadi.

3. 
   Ushbu ikkinchi tur xosmas integral
   

(16)
ning qanday qiymatlarida yaqinlashuvchi bo’lishi tekshirilsin.
Yechish: x=b maxsus nuqta. Ta’rifga asosan:


bo’lganda,

Demak, xosmas integral bo’lsa, yaqinlashadi; bo’lsa uzoqlashadi.
4. Ushbu ikkinchi tur xosmas integral
(17)
bo’lganda yaqinlashuvchi, bo’lganda uzoqlashuvchi bo’lishi isbotlansin.
Chegaralanmagan funksiyadan olingan integralning yaqinlashishi va uzoqlashishi haqidagi yetarli belgini ifodalovchi teoremani isbotlaymiz .
Teorema: Aytaylik, f(x) funksiya[a,b) yarim segmentda uzluksiz va manfiy bo’lmasin, hamda x=b nuqtada ikkichi tur uzilishga ega bo’lsin, yani
.
U vaqtda:
1) agar shunday M>0 va o’zgarmas sonlar mavjud bo’lib, [a,b) yarim segmentda
(18)
tengsizlik bajarilsa, u holda
(19)
ikkinchi tur xosmas integral yaqinlashadi;
2) agar M>0 va o’zgarmas sonlar mavjud bo’lib, [a,b) yarim segmentda (20)
tengsizlik bajarilsa, u holda (19) integral uzoqlashadi
Isbot. Avval teoremaning birinchi qismini isbotlaymiz. (18) tengsizlikka asosan.

bo’ladi. Demak, funksiya yuqoridan chegaralangan. Shu bilan birga funksiya o’suvchi bo’ladi. Shuning uchun funksiya da chekli limitga ega boladi. Bu (19) integralning yaqinlashuvchi ekanligini anglatadi. Ikkinchi holda (20) tengsizlikka asosan.

bo’ladi. 3-misolga asosan bo’lganda (19) integral uzoqlashadi. Teorema isbotlandi. Bu teoremadan amaliy mashg’ulotlarda qo’llaniladigan ikkinchi tur xosmas integralning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlab beruvchi quyidagi yetarli belgi kelib chiqadi