4. Xosmas integralnin geometrik masalalarga tadbiqi

> int( 1/(1+x^2), x=-infinity..infinity );


2. Birinchi tur xosmas integrallar
Ta’rif: Aytaylik f(x) funksiya [a,∞) oraliqda berilgan bo’lib, integral mavjud bo’sin, bunda A>0. U vaqtda, agar ushbu chekli limit mavjud bo’lsa, ya’ni
, (1)
bunda J-chekli son, u holda buni birinchi tur xosmas integral yoki f(x) funksiyaning [a,∞) oraliqda xosmas integrali deyiladi va
(2)
simvol bilan belgilanadi. Bu holda (2) xosmas integral mavjud yoki yaqinlashadi deyiladi. Agar (1) limit mavjud bo’lmasa yoki limit cheksizga teng bo’lsa, u holda (2) xosmas integral uzoqlashuvchi yoki mavjud emas deb ataladi. Xuddi shuningdek quyidagi integrallar qaraladi:
(3)
(4)
bularda a- ixtiyoriy son.
Xosmas integral aniq integralning limiti sifatida aniqlanganligi uchun aniq integralning ko’p xossalari xosmas integral uchun ham bajariladi. O’rta qiymat haqidagi teoremma o’z kuchini yo’qotadi. Birinchi tur xosmas integralni hisoblash ta’rifga asosan amalga oshiriladi. Haqiqatan ham, agar F(x)-funksiya f(x) funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lsa, u holda
,
bunda
.
Shunday qilib, (2) xosmas integralni hisoblash uchun ushbu umumlashgan Nyuton-Leybnits formulasini hosil qilamiz:
(5).
Xuddi shuningdek,

,
bunda .
Misollar:
1. xosmas integral hisoblansin.
Yechish: Ta’rifga asosan


Javob: Xosmas integral yaqinlashadi.
2. integral tekshirilsin
Yechish:
Ta’rifga asosan
Javob:Integral uzoqlashadi.
3. ning qanday qiymatlarida xosmas integralning mavjudligi tekshirilsin.
Y echish: Ta’rifga asosan

Javob: bo’lsa, integral yaqinlashadi,
bo’lsa, integral uzoqlashadi. Bu misoldan birinchi tur xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi belgilarini keltirib chiqarishda foydalanamiz.