60-odd years of moscow mathematical

R =
5
arcsin
³
1
√
3
´ .
Figure 124. (Sol. A96)
Figure 125. (Sol. A97)
97. Consider a mapping f that converts the map
1
K
0
with a larger scale into the map map K
1
with the
smaller scale: each point representing some spot in K
0
(by considering only the part of the town depicted
on K
0
we assume that K
0
⊃ K
1
) is placed upon the point representing the same spot in K
1
. Denote the
image of K
1
under the same mapping by K
2
, see Fig. 125.
1
The assumption that the map of Moscow is continuous was quite unjustified before the time of “glasnost” and probably
still is: large portions of Moscow were “classified”, i.e., restricted for “security reasons” and quite a number of scientists were
busy producing more or less plausibly distorted maps without “white spots”. But, kidding aside, this assumption is also dubious
mathematically if we take into account the fractal theory, see e.g., K. Falconer Fractal Geometry, Wiley, Chichester ea, 1990
and refs therein (esp. on p. xxii).

---

184
SOLUTIONS
Further, set K
n
= f (K
n−1
), n = 1, 2, . . . . The rectangles K
0
, K
1
, K
2
, . . . , K
n
, . . . have just one common
point, x, since the sizes of the rectangles tend to zero.
The point x is precisely the point for pearcing. Indeed, it follows from x ∈ K
n−1
that f (x) ∈ K
n
. Thus
the point f (x) also belongs to all rectangles but there is only one such point and so x = f (x).
Remark. In general, the following theorem is true:
Any continuous map of a rectangle onto itself has a fixed point.
So the statement of the problem remains true even if one map is crumpled before being placed on top of the
other map and pierced.
98. Since 2222
5555
≡ 3
5555
≡ (−4)
5555
≡ −4
5555
(mod 7) and 5555
2222
≡ 4
2222
(mod 7), we have
2222
5555
+ 5555
2222
≡ 4
2222
− 4
5555
≡ 4
2222
(1 − 4
3333
)
≡ 4
2222
(1 − 64
1111
) ≡ 4
2222
(1 − 1
1111
) ≡ 0 (mod 7).
Therefore, 2222
5555
+ 5555
2222
is a multiple of 7.
Another solution. Note that 4
3
= 64 ≡ 1 (mod 7). Hence
2222
5555
≡ 3
5555
≡ (−4)
5555
≡ (−4)
5
≡ (−4)
2
≡ −2 (mod 7).
Similarly,
5555
2222
≡ 4
2222
≡ 4
2
≡ 2 (mod 7),
and we are done.
Figure 126. (Sol. A99)
99. A sketch of the required construction with nine threads is shown in Fig. 126.
A convenient way of making it is to take 3 pencils.
If all threads have the same length l and the rods the same length d, then, for the construction to be
rigid, it is necessary to have d = l
r
1 +
2
√
3
.
The endpoints of the rods in our construction are vertices of two equilateral triangles arranged in parallel
planes which are perpendicular to the straight line connecting the centers of triangles and rotated through an
angle relative to one another. The rods themselves lie on straight lines which cross pairwise. The connection
of the rods and threads is the same as for an octahedron.
It is extremely difficult to prove the sufficiency of the above condition.
Remark. This connection was invented in the 1960s by an architect, B. Fuller. Many different designs of this type have
appeared since then.

---

HISTORICAL REMARKS
175
In this section we generously borrow from Introduction to [Le], [BY] and from [GT].

---

176
HISTORICAL REMARKS

---

Historical remarks
H.1. On this book. The book contains problems of all mathematical Olympiads held in Moscow since
the first one, in 1935. For the first time all of them are provided with solutions or at least hints and answers.
This book is not the first compendium of problems of Moscow Mathematical Olympiads. Selected
problems of Moscow Olympiads 1–15 were collected in [SCY]; those from Olympiads 1–27 were compiled
almost completely and published in Russian in [Le]. The compiler, A. A. Leman, and all who helped him,
did a tremendous job to put through that edition. Written with care and with easy to understand solutions,
the collection [Le] has become a rarity long ago. Both [SCY] and [Le], however, only contained solutions to
selected problems.
A critical review of these collections revealed a number of omissions and errors which we corrected as
best as we could
1
. We generously borrowed from Introduction of [Le] and from the book [GT], where most
of the problems from Olympiads 1–49 are supplied with at least an answer or a hint.
In this book, we offer the reader for the first time all (see footnote) problems of the first 27 Olympiads
and all problems of the Olympiads after the 49-th. (Problems from Olympiad 50 can be found in Chinese
[GT*]. The book was published in precopyright era without anybody’s consent
2
.) No complete (and correct)
solutions of ALL problems had ever been published yet. A new generation of high school students will be
able to get acquainted with a great number of interesting and beautiful ideas contained in more than 2 000
problems of the Moscow Mathematical Olympiads and learn the history of these happenings.
The problems for the Olympiads were put together and composed by many generations of graduate,
undergraduate and post graduate students (mainly) from the Moscow University. The preparatory problems,
those of the Olympiads themselves, and the problems told to school pupils at consultation sessions and
lectures constitute a very valuable material for study; a sort of the mathematical folklore.
Enthusiastic university students pester undergraduates and professors offering their problems, fiercely
criticizing others’ problems and demanding to create more and more of new problems to the pool. Sometimes
the discussions are very heated; sometimes a problem is discussed in whispers and the speakers look around
like conspirators. It means that they discuss a problem that has a chance to be accepted for the Olympiad.
More often than not a problem is so transformed during the discussion that the author can hardly recognize
his creation. Thus, the preparatory problems and those of the Olympiad are mainly the result of a collective
brain storm.
Unfortunately, this most valuable folklore is lost to a great extent and partly beyond recover. It is only
with great difficulties that we managed to restore some of the problems of Moscow Olympiads and sometimes
even complete original solutions that seemed to have been lost.
H.2. On necessity of Olympiads. In the mid-1930s many Soviet mathematicians pondered about
the need for cooperation with the high school to bring up the next mathematical generation. The training
of future mathematicians should begin in their childhood, the earlier the better. Nobody is surprised to see
a ballet dancer or a musician starting their career at the age of 8 or 6 or earlier. The explanation is that
it is impossible for a teenager to master all intricacies of the dancing art or of music, without specialized
training when a child, to develop the ear and the feeling of rhythm, the flexibility of knuckles or agility of
1
Concerning completeness, this goal seem to be out of reach. Apart from Olympiads held during WW II, several problems
of one more Olympiad seem to have sunk in Lethe. As I. M. Yaglom writes in Problems, Problems, Problems. History and