60-odd years of moscow mathematical

√
2
2 −
q
2 +
p
2 + · · · +
√
2
>
1
4
.
16.1.8.3. See Problem 16.1.7.2.
16.1.8.4. See Problem 16.1.7.3.
Grade 9
16.1.9.1. On the plane find the locus of points whose coordinates satisfy sin(x + y) = 0.
16.1.9.2. Let AB and A
1
B
1
be two skew segments, O and O
1
their respective midpoints. Prove that
OO
1
is shorter than a half sum of AA
1
and BB
1
.
16.1.9.3. Prove that the polynomial x
200
· y
200
+ 1 cannot be represented in the form f (x) · g(y), where
f and g are polynomials of only x and y, respectively.
16.1.9.4. Let A be a vertex of a regular star-shaped pentagon, the angle at A being less than 180
◦
and
the broken line AA
1
BB
1
CC
1
DD
1
EE
1
being its contour. Lines AB and DE meet at F . Prove that polygon
ABB
1
CC
1
DED
1
has the same area as the quadrilateral AD
1
EF .
16.1.9.5. See Problem 16.1.8.2
Grade 10
16.1.10.1. See Problem 16.1.9.1.
16.1.10.2. Given a right circular cone and a point A. Find the set of vertices of cones equal to the given
one, with axes parallel to that of the given one, and with A inside them.
16.1.10.3. See Problem 16.1.9.3.
16.1.10.4. See Problem 16.1.9.4.
16.1.10.5. See Problem 16.1.8.2.
Tour 16.2
Grade 7
16.2.7.1. Prove that GCD(a + b, LCM (a, b)) = GCD(a, b) for any a, b.
16.2.7.2. A quadrilateral is circumscribed around a circle. Its diagonals intersect at the center of the
circle. Prove that the quadrilateral is a rhombus.
16.2.7.3. On a plane, 11 gears are arranged so that the teeth of the first gear mesh with the teeth of
the second gear, the teeth of the second gear with those of the third gear, etc., and the teeth of the last gear
mesh with those of the first gear. Can the gears rotate? (See Problem 16.2.8.4 below.)
16.2.7.4. Inside a convex 1000-gon, 500 points are selected so that no three of the 1500 points — the
ones selected and the vertices of the polygon — lie on the same straight line. This 1000-gon is then divided
into triangles so that all 1500 points are vertices of the triangles, and so that these triangles have no other
vertices. How many triangles will there be?

---

OLYMPIAD 16 (1953)
43
16.2.7.5. Solve the system











x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
+ 2x
5
= 1,
x
1
+ 3x
2
+ 4x
3
+ 4x
4
+ 4x
5
= 2,
x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
+ 6x
4
+ 6x
5
= 3,
x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
+ 7x
4
+ 8x
5
= 4,
x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
+ 7x
4
+ 9x
5
= 5.
(See Problem 16.2.8.5 below.)
Grade 8
16.2.8.1. Let a, b, c, d be the lengths of consecutive sides of a quadrilateral, and S its area. Prove that