60-odd years of moscow mathematical

ABc
2
+ BCa
2
+ CAb
2
2
with given a > 0, b > 0, c > 0 hold for all A > 0, B > 0, C > 0. Is it possible to construct a triangle with
sides of lengths a, b, c?
18.2.8.5. Find all numbers a such that (1) for a fixed positive integer N all numbers [a], [2a], . . . , [N a]
are distinct and (2) all numbers
h
1
a
i
,
h
2
a
i
, . . . ,
h
N
a
i
, are distinct.
Grade 9
18.2.9.1. Given 4ABC, points C
1
, A
1
, B
1
on sides AB, BC, CA, respectively, such that
AC
1
C
1
B
=
BA
1
A
1
C
=
CB
1
B
1
A
=
1
n
and points C
2
, A
2
, B
2
on sides A
1
B
1
, B
1
C
1
, C
1
A
1
of 4A
1
B
1
C
1
, respectively, such that
A
1
C
2
C
2
B
1
=
B
1
A
2
A
2
C
1
=
C
1
B
2
B
2
A
1
= n.

---

OLYMPIAD 19 (1956)
51
Prove that A
2
C
2
k AC, C
2
B
2
k CB, B
2
A
2
k BA.
18.2.9.2. On the numerical line, arrange a system of closed segments of length 1 without common points
(endpoints included) so that any infinite arithmetic progression with any difference and any first term has a
common point with a segment of the system.
18.2.9.3. Prove that the equation
x
n
− a
1
x
n−1
− a
2
x
n−2
− · · · − a
n−1
x − a
n
= 0,
where a
1
≥ 0, a
2
≥ 0, . . . , a
n
≥ 0,
cannot have two positive roots.
18.2.9.4. See Problem 18.2.8.2.
18.2.9.5. Five men play several sets of dominoes (two against two) so that each player has each other
player once as a partner and two times as an opponent. Find the number of sets and all ways to arrange the
players.
Grade 10
18.2.10.1. Prove that if
p
q
is an irreducible rational number that serves as a root of the polynomial
f (x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ · · · + a
n
with integer coefficients, then p − kq is a divisor of f (k) for any integer k.
18.2.10.2. See Problem 18.2.9.2.
18.2.10.3. A right circular cone stands on plane P . The radius of the cone’s base is r, its height is h.
A source of light is placed at distance H from the plane, and distance 1 from the axis of the cone. What is
the illuminated part of the disc of radius R, that belongs to P and is concentric with the disc forming the
base of the cone?
18.2.10.4. What greatest number of triples of points can be selected from 1955 given points, so that
each two triples have one common point?
18.2.10.5. Consider 4A
0
B
0
C
0
and points C
1
, A
1
, B
1
on its sides A
0
B
0
, B
0
C
0
, C
0
A
0
, points C
2
, A
2
,
B
2
on the sides A
1
B
1
, B
1
C
1
, C
1
A
1
of 4A
1
B
1
C
1
, respectively, etc., so that
A
0
B
1
B
1
C
0
=
B
0
C
1
C
1
A
0
=
C
0
A
1
A
1
B
0
= k,
A
1
B
2
B
2
C
1
=
B
1
C
2
C
2
A
1
=
C
1
A
2
A
2
B
1
=
1
k
2
and, in general,
A
n
B
n+1
B
n+1
C
n
=
B
n
C
n+1
C
n+1
A
n
=
C
n
A
n+1
A
n+1
B
n
=
(
k
2n
for n even
1
k
2n
for n odd.
Prove that 4ABC formed by lines A
0
A
1
, B
0
B
1
, C
0
C
1
is contained in 4A
n
B
n
C
n
for any n.
Olympiad 19 (1956)
Tour 19.1
Grade 7
19.1.7.1. Prove that there are no four points A, B, C, D on a plane such that all triangles 4ABC,
4BCD, 4CDA, 4DAB are acute ones.
19.1.7.2. Find all two-digit numbers x the sum of whose digits is the same as that of 2x, 3x, etc., 9x.
19.1.7.3. A closed self-intersecting broken line intersects each of its segments once. Prove that the
number of its segments is even.
19.1.7.4. Find all integers that can divide both the numerator and denominator of the ratio
5l + 6
8l + 7
for
an integer l.
19.1.7.5. What is the least number of points that can be chosen on a circle of length 1956, so that for
each of these points there is exactly one chosen point at distance 1, and exactly one chosen point at distance
2 (distances are measured along the circle)?
Grade 8
19.1.8.1. On sides AB and CB of 4ABC there are drawn equal segments, AD and CE, respectively,
of arbitrary length (but shorter than min(AB, BC)). Find the locus of midpoints of all possible segments
DE.

---

52
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
19.1.8.2. In the decimal expression of a positive number, a, all decimals beginning with the third after
the decimal point, are deleted (i.e., we take an approximation of a with accuracy to 0.01 with deficiency).
The number obtained is divided by a and the quotient is similarly approximated with the same accuracy by
a number b. What numbers b can be thus obtained? Write all their possible values. (Cf. Problem 19.1.9.2,
19.1.10.2.)
19.1.8.3. On a circle of length 15 there are selected n points such that for each of them there is exactly
one selected point at distance 1 from it, and exactly one is selected point at distance 2 from it. (All distances
are measured along the circle.) Prove that n is divisible by 10. (Cf. Problem 19.1.7.5.)
19.1.8.4. Let a, b, c, d, l be integers. Prove that if the numerator and denominator of the ratio
al + b
cl + d
are both divisible by k, then so is ad − bc. (Cf. Problem 19.1.7.4.)
19.1.8.5. On an infinite sheet of graph paper a table is drawn so that in each square of the table stands
a number equal to the arithmetic mean of the four adjacent numbers. Out of the table a piece is cut along
the lines of the graph paper. Prove that the largest number on the piece always occurs at an edge; see
Fig. 27, where x =
1
4
(a + b + c + d).
Figure 27. (Probl. 19.1.8.5)
Figure 28. (Probl. 19.1.10.4)
Grade 9
19.1.9.1. In a convex quadrilateral ABCD, consider quadrilateral KLM N formed by the centers of
mass of triangles ABC, BCD, DBA, CDA. Prove that the straight lines connecting the midpoints of the
opposite sides of quadrilateral ABCD meet at the same point as the straight lines connecting the midpoints
of the opposite sides of KLM N .
19.1.9.2. In the decimal expression of a positive number, a, all decimals beginning with the third after
the decimal point, are deleted (i.e., we take an approximation of a rounding off to 0.001 with deficiency).
The number obtained is divided by a and the quotient is similarly approximated with the same accuracy by
a number b. What numbers b can be thus obtained? Write all their possible values. (Cf. Problems 19.1.8.2,
19.1.10.2.)
19.1.9.3. See Problem 19.1.8.5.
19.1.9.4. Consider positive numbers h, s
1
, s
2
, and a spatial triangle 4ABC. How many ways are there
to select a point D so that the height of tetrahedron ABCD dropped from D equals h, and the areas of
faces ACD and BCD equal s
1
and s
2
, respectively?
19.1.9.5. See Problem 19.1.8.4.
Grade 10
19.1.10.1. A square of side a is inscribed in a triangle so that two of the square’s vertices lie on the
base, and the other two lie on the sides of the triangle. Prove that if r is the radius of the circle inscribed
in the triangle, then r
√
2 < a < 2r.
19.1.10.2. In the decimal expression of a positive number, a, all decimals beginning with the third after
the decimal point, are deleted (i.e., we take an approximation of a with accuracy to 0.0001 with deficiency).
The number obtained is divided by a and the quotient is similarly approximated with the same accuracy by
a number b. What numbers b can be thus obtained? Write all their possible values. (Cf. Problems 19.1.8.2,
19.1.9.2.)

---

OLYMPIAD 19 (1956)
53
19.1.10.3. See Problem 19.1.8.4.
19.1.10.4. Given a closed broken line A
1