60-odd years of moscow mathematical

Grade 9
27.2.9.1. See Problem 27.2.8.1.
27.2.9.2. See Problem 27.2.8.4.
27.2.9.3. Prove that any non-negative even number 2n can be uniquely represented in the form 2n =
(x + y)
2
+ 3x + y, where x and y are nonnegative integers.
27.2.9.4. In 4ABC, side BC is equal to a halfsum of the other two sides (AB 6= AC). Prove that the
bisector of ∠BAC is perpendicular to the segment connecting the centers of the inscribed and circumscribed
circles.
27.2.9.5*. On a graph paper consider a closed broken line whose vertices are in the nodes of the grid
and all segments of the broken line are equal. Prove that the number of the segments of such a broken line
is even.
Grade 10
27.2.10.1. n beakers contain n distinct liquids, there is also an empty beaker. We assume that each
beaker is continuously graded so that we can measure the volume of liquid inside it. Is it possible to compose
uniform mixtures in each beaker inside a finite length of time? In other words, is it possible to arrange so
that each of the n beakers contains exactly
1
n
of the initial quantity of each liquid and one beaker is empty?
27.2.10.2. We have a system of n points on a plane such that for any two points there is a movement
of the plane sending the first point to the second one and the whole system into itself. Prove that all points
of such a system belong to a circle.
27.2.10.3. In 4ABC, side BC is equal to a halfsum of the other two sides. Prove that vertex A, the
midpoints of AB and AC and the centers of the inscribed and circumscribed circles belong to one circle.
27.2.10.4. See Problem 27.2.9.5.
27.2.10.5*. Several positive integers are written on each of infinitely many cards so that for any n there
is exactly n cards on which the divisors of n are written. Prove that every positive integer is encountered
on at least one card.

---

80
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
Grade 11
27.2.11.1. Several vectors begin from point O on a plane; the sum of their lengths is equal to 4. Prove
that it is possible to select several of these vectors (perhaps, one) the length of whose sum (whose length) is
greater than 1.
27.2.11.2. See Problem 27.2.8.3.
27.2.11.3. In 4ABC, sides AB and AC are of different length, side BC is equal to their halfsum.
1
Consider the circle through A and the midpoints of AB and AC. Consider the tangents to the circle pass
through the triangle’s center of mass. Prove that a) one of the tangent points is the center of the circle
inscribed in 4ABC, b) the straight line through the intersection point of medians and the intersection point
of bisectors of 4ABC is tangent to this circle. (Cf. Problem 27.2.8.4 and 27.2.10.3.)
27.2.11.4*. A pie is of the form of a regular n-gon inscribed in a circle of radius 1. One straight cut of
length 1 is made from the midpoint of each side. Prove that in this way we always cut off a piece of the pie
(even if we’d rather not).
27.2.11.5*. Once upon a time there were 2n knights at King Arthur’s court; each of the knights had
not more than n − 1 enemies among the knights present. Prove that Merlin, King Arthur’s counsellor, can
place the knights at the Round Table so that no knight will have his enemy as a neighbor.
Olympiad 28 (1965)
Tour 28.1
Grade 8
28.1.8.1. Given circle S, straight line a intersecting S, and a point M . Draw a line b through M so
that the part of b inside S is bisected by a. (See Fig. 58.)
Figure 58. (Probl. 28.1.8.1)
28.1.8.2. Prove the validity of the following test of divisibility by 37. Divide the decimal expresesion