60-odd years of moscow mathematical

AC
2
.
45.7.3. At Turing Machines store Pete bought a paid calculating machine that for 5 kopeks multiplies
any number punched into it by 3 and for 2 kopeks adds 4 to any number. Pete wants to obtain the number
1981 for the least amount of money and begins with 1 which may be punched in for free. How much will his
calculations cost Pete’s parents? Same question if he wants to obtain 1982.
45.7.4. What least number of points on a plane must be selected so that among all distances between
pairs of points there should be 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64?
Grade 8
45.8.1*. Simplify the expression:
2
p
4 − 3
4
√
5 + 2
√
5 −
4
√
125
.
45.8.2. A rectangle is cut into 5 rectangles. Prove that there is a pair of these 5 rectangles one of which
fits completely inside the other.
45.8.3. The squares of 1, 2, 3, . . . , 1982 are juxtaposed in some order to form a number. Can the
number obtained be the square of an integer?
45.8.4. All diagonals of a convex pentagon are parallel to the opposite sides. Prove that the ratio of
every diagonal to the opposite side is equal to
√
5 + 1
2
.
45.8.5. a) Knowing that (one can easily prove this by induction)
1
3
+ 2
3
+ · · · + n
3
=
µ
n(n + 1)
2
¶
2
,
prove that for distinct positive integers a
1
, a
2
, . . . , a
n
the following inequality holds:
(a
7
1
+ a
7
2
+ · · · + a
7
n
) + (a
5
1
+ a
5
2
+ · · · + a
5
n
) ≥ 2(a
3
1
+ a
3
2
+ · · · + a
3
n
)
2
.
b) Are there some distinct positive integers a
1
, a
2
, . . . , a
n
for which the equality is attained?
Grade 9
45.9.1. Find all integers n for which the number n2
n
+ 1 is divisible by 3.
45.9.2. On a plane find a point such that the sum of the distances from it to four given points is minimal.
45.9.3. On a plane the points with integral coordinates are marked. Prove that there exists a circle
with exactly 1982 marked points inside it.
45.9.4. The number
A = 0.1 + 0.02 + 0.003 + · · · + n · 10
−n
+ . . .
is written in the form of an infinite decimal fraction. Prove that the digits 1982 in succession do not appear
in this decimal.
45.9.5. Two sides of a convex quadrilateral are of length 1 and two other sides and both diagonals are
not longer than 1. What is the longest possible perimeter of the quadrilateral?

---

122
MOSCOW MATHEMATICAL OLYMPIADS 1 – 59
Grade 10
45.10.1. a) Prove that if all edges of a regular tetrahedron subtend equal angles with a common vertex
inside the tetrahedron, then this vertex is the center of the sphere circumscribed around the tetrahedron.
b) Can the vertices of equal angles subtending the tetrahedron’s edges be outside the tetrahedron?
Note: If the vertex lies on an edge or its extension, we say that the edge subtends an angle of π or 0,
respectively.
45.10.2. a) Let a, b, c be the lengths of a triangle’s sides. Prove that
a
4
+ b
4
+ c
4