7-9-sinf algebra va geometriya misolida

2.2-§ O‘quvchilarni nostandart masalalarni yechishga o‘rgatishning metodik jihatlari.
Maktablarni vazifasi hamma bilimlarni ta’minlash emas, balki u bilimlarni egallash va ularni amalda ijodiy qo‘llay olishga yo‘naltirishdir.
Matematika o‘qitishda nostandart masalalar yechish yordamida o‘quvchilar ijodiy tafakkurlarini rivojlantirish quyidagi elementlar asosida amalga oshiriladi:
-bilimlar va aniq bir maqsadga qaratilgan kuzatish;
-taqqoslash va umumlashtirish;
-gipotezalar qo‘yish va ularni to‘g‘riligini sodda usullar bilan tekshirish.
O‘quvchilarda ijodiy tafakkurni rivojlantirish uchun ular bir-birini almashtiruvchi bosqichlardan o‘tishi zarur.
P.Y.Galpirin aqliy faoliyatni shakllantirish jarayonini quyidagi bosqichlarga
bo‘ladi:

• O‘quvchilar masalani qo‘yilishi bilan tanishish bosqichi. Bu bosqichda o‘quvchilar o‘qituvchining qanday yo‘llar bilan masala yechishini kuzatadilar.
• Masalaga doir ma’lumotlarni anglash bosqichi. Bu bosqichda o‘quvchilar tashqaridan kuzatish bilan aqliy fikr yuritadilar. Masalani yechish uchun zarur bo‘ladigan harakatlarni fikrlaydilar va masalani mazmunini uning elementlarini o‘rganadilar, o‘qituvchi esa ularni bu harakatlarini baholaydi.
• Masala yechish jarayonini aytish bosqichi(kichik sinflarda og‘zaki, katta sinflarda yozma ravishda, ba’zan bu bosqich alohida ajratilmasligi ham mumkin).

• Masalani alohida elementlarini har bir o‘quvchi mustaqil yechish bosqichi. Bu bosqichda masalani qadamma-qadam algoritm asosida yechilishini o‘qituvchi kuzatadi.
• Aqliy va ichki fikrlashlar shakllanishi bosqichi. Bu bosqichda harakatlar juda tez kechadi, kuzatishlar qiyinlashadi.

Bu bosqichlarning bir-biridan farqi shundaki, o‘quvchi oldin ko‘rsatmalardan foydalanadi, keyingi bosqichlarda esa yoddan yechishga o‘tadi, kerak bo‘lganda ko‘rsatmalardan foydalanish mumkin.
Matematikada vektor tushunchasi uzunlik, o‘lchov, masofa, yo‘nalish, miqdor kabi tushunchalarni bog‘lovchi keng qo‘llamli ajoyib tushuncha. Shuning uchun biz mulohazamizni vektorlardan foydalanish maqsadga muvofiq deb topdik.

Vektorlar tatbig‘i yordamida ham juda ko‘p masalalarni mumkin. Ekstrimal masalalarni yechishda ham vektorlarni
yechish tatbig‘ini
beqiyosligini ko‘rish mumkin. Vektorlarni skalyar ko‘paytmasidan foydalanib geometrik masalalarni, algebrada esa tenglamalar va ularning sistemalarini, tengsizliklar va ularni sistemalarini , analiz kursida esa ekstremumga oid
masalalarni hal qilish mumkin.
 
Agar
Ma’lumki, а в = а в cos  а в vektorlarning skalyar ko‘paytmasi.

а ( а1 ; в1 )

, в ( а2 ; в2 )
koordinatalar orqali berilgan bo‘lsa, u holda
а а + в в  а 2  в 2 а 2 в 2 munosabat o‘rinli bo‘ladi.
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2
а 2  в 2  с 2
Uch o‘lchovli fazo uchun а а + в в + с с = а 2  в 2  с 2
1 2 1 2 1 2 1 1 1
munosabat o‘rinli. Bularni tatbig‘iga doir misollar keltiramiz.

• Agar х+у+z=12 bo‘lsa u holda 2х 1 + 2 у 1 + 2z 1  9 ekanini

isbotlansin.

• х 1 + 2х  3 + 50  3х  12 tengsizlik x ning barcha qiymatlarida bajarilishini isbotlang.

uchun
3)To‘g‘ri burchakli uchburchakning a va v katetlari va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘lishini isbotlang. а+в с
s gipotenuzasi
2
Quyidagicha vektorlarni


qaraymiz: х (1;1) , у (а;в),
а+в 2 а2  в2 = с 2
Endi vektorlarni skalyar ko‘paytmasini sistemasini yechishga tatbiq etamiz.
tenglamalar va tenglamalar
17
х 2  у 2 = х  4 у 1
4) tenglamani yeching.
Yechish: Ikki o‘zgaruvchili tenglamalarni murakkab ekanligi bizga ma’lum. Shuning
an’anaviy usulda yechish uchun vektorlarni skalyar
ko‘paytirish metodidan foydalanamiz. Berilgan tenglamani quyidagicha
yozib olamiz.
17 х 2  у 2 =х+4у-1
vektorlarni qaraymiz. Bu vektorlarni uzunliklari mos
ravishda

 
а (х;у), в (1;4)

х 2  у 2 ,

а = в = 1  16 = 17 ga teng. Ularning skalyar
ko‘paytmasi
     
а в =х.1+у.4 ga ko‘ra а в  а в
tengsizlikka ko‘ra 17 х 2  у 2 ≥х+4у≥х+4у-
1 bo‘lib, berilgan tenglamaning yechimga ega emas ekanini kuramiz.
5) х 1  х + 3  х =2 х2 1 tenglamani yeching.

Ushbu а (

1  х + 3  х ), в (х;1)
 
misolga o‘xshash а в = х 1  х + 3  х
vektorlarni qaraymiz. Yuqoridagi 4-
 2 х2 1 ga ega bo‘lamiz. Bu yerda
tenglik sharti bajarilishi uchun

а

va в vektorlar kolleniyar bo‘lishi lozim,
ya’ni
х
1  х = 3  х
tenglik o‘rinli bo‘lishi kerak.Bundan 1  х =х 3  х ,
1
ya’ni х 3 -3х 2 +х+1=0 tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglamani
1+х=х 2 (3-х),
yechaylik.
х 2 (х-1)-(х-1)(2х+1)=0
х 3 -х 2 -2х 2 +х+1=0 , х 2 (х-1)-(2 х 2 -х-1)=0 ,
(х-1)(х 2 -2х-1)=0 , х =1 , х =1+ 2
1 2,3
Topilgan bu ildizlar tenglamaning aniqlanish sohasiga tegishli bo‘ladi.
Shu sababli ular berilgan tenglamaning ildizlaridir.
6) Quyidagi tenglamalar sistemasi yechilsin: 36х 2 +9у 4 +4z 6 =1
3
х+у 2 +z 3 = 2
Yechish: Ushbu

а
(6х; 3у 2 ; 2z 3 ),
( , ,
6 3 2
1 1 1 )
vektorlarni qaraymiz.Bu
vektorlarni uzunligi

а
= 36х 2  9 у 4  4z 6 ,

в

в
=
1  1  1
36 9 4
dan iborat bo‘lib,
 
ularning skalyar ko‘paytmasi а в =х+у 2 +z 3
bo‘ladi.
х+у 2 +z 3  36х 2  9 у 4  4z 6
36 9 4
1
 1  1 =1.
14 < 4 = 2
36 6 3
   
Bizga ma’lumki, а в  а в .
Shunday qilib, vektor uslubi
Demak, sistema yechimga ega emas.
yordamida geometrik masalalarning va
algebraik an’anaviy va nostandart tenglamalar hamda tenglamalar sistemasini oson yechish mumkinligini misollar yordamida isbotladik.
misollarni asosiy vazifalari quyidagilardan iborat: matematikaga uning tatbiqlariga qiziqish uyg‘otish;
Bunday turdagi

• o‘quvchilarda
• o‘quvchilarni

dastur bo‘yicha bilimlarini kengaytirish;
v) o‘quvchilarda ilmiy tadqiqot xususiyatidagi malakalarni hosil qilish;
g) o‘quvchilarda matematik madaniyatni tarbiyalash;

• o‘quvchilarni ilmiy-ommabop adabiyotlar bilan ishlashga o‘rgatish;
• o‘quvchilarni ijodiy tafakkurlarini rivojlantirish.

Bu maqsadlar nostandart masalalar yechish darslarida amalga oshiriladi.
Matematikadan nostandart masalalar yechish jarayoni muhim obyekt
hisoblanadi. Shuning uchun bunday masalalar yechishda o‘quvchi o‘quv-ijodiy faoliyatini quyidagi nuqtai nazardan anglash muhim hisoblanadi:
a) nostandart masalalar tuzilishi va mazmuni;

b) nostandart masalalar turlari;
v) matematikadan nostandart masalalar yechishda o‘quvchilar qobiliyatlari va sifatlari;
g) matematikadan nostandart masalalar yechishda mahsuldor uslublar.
ijodiy
Fikrimizcha, matematika o‘qitishda nostandart masalalar yechishda o‘quvchilarning ijodiy tafakkurlarini rivojlantirishda quyidagilarga e’tibor berish lozim:

• yangi sharoitda o‘rgangan bilimlardan foydalanishni bilish;
• yangi bilimlarni egallashda ma’lum metodlardan(usullardan) foydalanishni bilish;
• bilimlarni egallashning yangi usullarini o‘zlashtirish va ularni masalalarni yechishga qo‘llay bilish;
• bilimlar olishga bo‘lgan ehtiyojini kuchaytirish va chuqurlashtirish;
• matematika kursida egalalngan bilimlarni masalalar yechishda tatbiq qilishga harakat qilish;
• o‘quv jarayonida bilimdonlik, qiziquvchanlik va maqsad sari intilish;

-o‘z ustida ishlash qobiliyati va uni tashkil etishni bilish.