7-bob. Differensial hisob

§ 7.4 Hosilaning tatbiqlari
Hosilani mexanik ma’nosi. Agar material nuqta qonuniyat bilan harakatlanayotgan bo’lsa, ( -yo’l; -vaqt), u holda -material nuqta tezligini ifodalaydi. Tezlikdan olingan ikkinchi hosila material nuqtaning tezlanishini ifodalaydi.
Roll teoremasi. Faraz qilaylik, funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) oraliqda uzluksiz; 2) (a,b) intervalda differensiallanuvchi;
3) oraliq oxirlarida funksiya bir xil qiymatlarni qabul qiladi, ya’ni ; u holda shunday nuqta topiladiki, bo’ladi.
Lagranj teoremasi. Faraz qilaylik, funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) oraliqda uzluksiz; 2) (a;b) intervalda differensiallanuvchi;
U holda shunday nuqta topiladiki, tenglik bajariladi.
Lopital qoidasi. va funksiyalar nuqtaning atrofida differensiallanuvchi bo’lib, bo’lsin. Agar , yoki bo’lib, mavjud bo’lsa, u holda tenglik o’rinli bo’ladi. Lopital qoidasi shaklidagi aniqmasliklarning limitini hisoblashda qo’llaniladi. va shaklidagi aniqmasliklar, algebraic o’zgartirishlar yordamida shakliga keltiriladi. shaklidagi aniqmasliklar esa avval logarifmlash orqali shaklidagi aniqmaslikka keltirilib, so’ngra ko’rinishdagi aniqmasliklarga keltiriladi.
Berilgan masalalarni yeching.
7.133. Zenit snaryad boshlang’ich a m/sek tezlik bilan vertikal yo’nalishda otilgan. t sekunddan so’ng snaryar qanday x balandlikda bo’ladi? Snaryadning harakat tezligi va tezlanishi aniqlansin. Necha sekunddan so’ng snaryad eng yuqori balandlikka ko’tariladi va yerdan qanday masofada bo’ladi?
7.134. Jism qonunga asosan Ox to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qiladi. harakat tezligi va tezlanishi aniqlansin. Qaysi paytlarda jism harakat yo’nalishini o’zgartiradi?
7.135. Moddiy nuqta qonun bo’yicha tebranma harakat qiladi. va nuqtalardagi tezlik va tezlanish aniqlansin. tezlanish hamda nuqtaning uzoqlashishi x ushbu “differensial” tenglama bilan bog’langani ko’rsatilsin.
7.136. funksiya ildizlari orasida uning hosilasining ham ildizi bor ekani tekshirilsin. Bu grafik usulda tushuntirilsin.
7.137. Roll teoremasini funksiyaga [-1; 1] segmentda tatbiq qilish mumkinmi?
7.138. egri chiziqning [ ] segmentdagi yoyi yasalsin. Nima uchun bu yoyda AB vatarga parallel urinma yo’q? Roll teoremasining qaysi sharti bu yerda bajarilmaydi?
7.139. [1, 4] segmentda funksiya uchun Lagranj formulasi yozilsin va c topilsin.
7.140.[-1, 2] segmentda va funksiyalarga Lagranj teoremasini tatbiq qilish mumkin emasligi ko’rsatilsin. Grafik usulda tushuntirilsin.
7.141. segmentda egri chiziqning yoyi yasalsin. Nima uchun bu yoyda AB vatarga parallel urinma yo’q? Lagranj teoremasining qaysi sharti bunda bajarilmaydi?
7.142. funksiya uchun Lagranjning formulasi yozilsin va c topilsin.
7.143. Quyidagi funksiyalar uchun Lagranj formulasi yozilsin va c topilsin.
1) [0, 1] segmentda ; 2) [0, 1] segmentda ;
3) [1, 2] segmentda .
7.144. Quyidagi funksiyalar uchun Koshi formulasi yozilsin va c topilsin:
1) [0, ] segmentda va ; 2) [1, 4] segmentda va .