7-Ma’ruza Mavzu: Qattiq jismning tekislikka parallel harakati

7.3 § Tekislikdagi harakatdagi shakl nuqtalarining tezliklarini aniqlash.
Ko’rsatib o’tilganidek, tekislikka parallel harakatdagi jismning barcha nuqtalarini A-qutb bilan birgalikdagi -tezlik bilan ilgarilanma harakati va qutb atrofidagi aylanma harakatlarning yig’indisidan iborat deb hisoblash mumkin ekan. Shaklning ixtiyoriy M nuqtasining tezligi, yuqorida aytilgan ikkita harakatlardan olinadigan tezliklarning geometrik yig’indisidan iborat bo’lishligini ko’rsatib o’tamiz. Haqiqatdan ham, shaklning ixtiyoriy M nuqtasining qo’zg’almas Oxy o’qlardagi holati,


120- shakl
-ko’rinishdagi radius vektor bilan aniqlanadi (120- shakl). Bu erda - qutbning radius vektori, = -M nuqtaning qutb bilan birgalikda harakatlanuvchi Ax'y' - o’qlarga nisbatan olingan radius vektori. U holda,

Bu tenglikdagi - qutb A-ning tezligi; - M nuqtaning A qutb atrofidagi aylanishidan oladigan aylanma tezlik, yoki =const bo’lgandagi aylanma tezlik. Shunday qilib yuqoridagi tenglikdan,
= + (7.3)
M nuqtaning A-qutb atrofidagi aylanma harakatidan oladigan -tezlik vektori (51§-ga qarang),
v_MA=w×MA ( ^ ) (7.4)
bu erda w- shaklning burchakli tezligi.


121- shakl
Shunday qilib, tekislikdagi shaklning ixtiyoriy M nuqtasining tezligi qutb deb qabul qilingan birorta A nuqtaning tezligi va shu M nuqtaning qutb atrofidagi aylanishidan oladigan tezliklarning geometrik yig’indisiga teng ekan. M nuqtaning tezlik vektori -ning moduli va yo’nalishi tegishli parallelogrammning dioganali orqali aniqlanadi (121- shakl).
2-masala. To’g’ri chiziqli rels ustida sirpanmasdan aylanma harakat qilayotgan g’ildirakning gardishidagi M nuqtaning tezligi aniqlansin (148 shakl). G’ildirak o’qi C uqtaning tezligi - va burchak ÐDKM=a
Echish. C-nuqtaning tezligi ma’lum bo’lgani uchun, bu nuqtani qutb deb tanlab olamiz va M nuqtaning tezligini aniqlash uchun tegishli vektor tenglama tuzamiz, ya’ni va , son qiymati bo’yicha v_MC=w×MC=wR (R-g’ildirakning radiusi). G’ildirakning burchakli tezligi -w ni aniqlash uchun, g’ildirakning K nuqtasi sirpanmas ekanligidan, ya’ni v_K=0 ekanligidan foydalanamiz,
Ikkinchi tomondan M nuqta uchun tuzilgan vektor tenglamaga o’xshash yozamiz, bu erda v_KC=w×KC=w×R. K nuqta uchun tuzilgan vektor tenglamadagi va vektorlar bir to’g’ri chiziqda yotadilar, hamda v_K=0 bo’lgani uchun v_KC=v_C bo’ladi. Bundan w=v_C/R, natijada v_MC=w×R=v_C ekanligini aniqlaymiz.


122-shakl
va vektorlarga qurilgan parallelogramm rombdan iborat bo’ladi. va -vektorlar orasidagi burchak b -ga teng, hamda ushbu burchaklarni tashkil etuvchi tomonlar va burchak b -o’zaro perpendikulyar. O’z navbatida b=2a, markaziy burchak bo’lib, o’sha ichki a burchakdan iborat yoyga tiralgan bo’ladi. U holda rombning xossasiga ko’ra - va vektorlar orasidagi burchak, va vektorlar orasidagi burchaklar a-ga teng bo’ladi. Rombning diagonali o’zaro perpendikulyar bo’lganligi sababli, v_M=2v_Ccosa va ^
Ko’rinib turibdiki, bu usul juda katta hajmdagi hisoblash ishlariga olib kelar ekan. Keyingi mavzularda bu masalani ancha oson yo’l bilan echish usullari ko’rsatib o’tamiz .
7.4 § Jismning ikki nuqtasi tezligining proektsiyasi haqidagi teorema.
Tekislikdagi shakl (tekislikka parallel harakatlanuvchi qattiq jism) nuqtalarining tezliklarini (7.3) formula orqali aniqlash, ancha murakkab hisoblash ishlariga olib keladi (59 masalaga qarang). Lekin tekislikka parallel harakatdagi jism nuqtalarining tezliklarini aniqlash uchun, yuqorida olingan natijalardan kelib chiqadigan bir necha sodda va qulay usullar haqida so’z yuritamiz.
Shunday usullardan biri haqida quyidagi teoremadan foydalanamiz. Teorema: qattiq jismning ixtiyoriy ikki nuqtasining tezligini shu nuqtalardan o’tuvchi o’qqa bo’lgan proektsiyalari o’zaro teng.


123- shakl
Tekislikdagi shaklning (jismning) ixtiyoriy ikki A va B nuqtasini olib ko’raylik. A nuqtani qutb deb qabul qilib (123- shakl), B nuqtaning tezligi uchun (7.3) formula orqali = + vektor tenglamani yozamiz. Ushbu vektor tenglamani ikkala tomonini AB o’qqa proektsiyalaymiz. Lekin -tezlik vektori AB o’qqa perpendikulyar ravishda yo’nalgan bo’lganligi uchun,
v_B×cosb=v_A×cosa (7.5)
bo’ladi va teorema isbotlandi.
Ushbu natijani oddiy mulohaza yuritish orqali ham aniqlash mumkin: agar (7.5) tenglik qanoatlanmasa, u holda A va B nuqtalar orasidagi masofa o’zgarishi lozim, bu esa absolyut qattiq jism uchun mutloq mumkin emas. Shu sababli (7.5) tenglik nafaqat tekislikka parallel harakatda, hatto ixtiyoriy harakatda ham o’rinli bo’ladi.
Isbot qilingan ushbu teorema orqali jismning biror nuqtasining tezligi ma’lum bo’lsa, boshqa ixtiyoriy nuqtasining tezligini aniqlashga imkon ochib beradi.