7-Ma’ruza Mavzu: Qattiq jismning tekislikka parallel harakati

4-masala. Dumalab harakat qilayotgan (59 masala) g’ildirak gardishidagi M nuqtaning tezligi, oniy tezliklar markazi orqali aniqlansin.


130- shakl
Echish. G’ildirakning tekislikka tutashgan (130- shakl) P nuqtasi uning oniy tezliklar markazi bo’ladi, chunki =0. Shunga asosan ^PM bo’ladi. PMD to’g’ri burchak diametrga tiralganligi sababli, g’ildirakning gardishida joylashgan barcha nuqtalarning tezlik vektorlari -ning ta’sir chiziqlari shu D nuqtani albatta kesib o’tadi. Quyidagi proportsiyaga asosan: v_M/PM=v_C/PC va RC=P, PM=2Rcosa ekanligini e’tiborga olib v_M=2v_Ccosa -ni aniqlaymiz. M nuqta P markazdan qancha uzoqda joylashsa, uning tezligi shuncha katta bo’ladi va aksincha; eng katta tezlik g’ildirakning eng yuqoridagi D nuqtasida bo’ladi, ya’ni v_D=2v_C. (9.4) formula orqali g’ildirakning burchakli tezligini aniqlaymiz,
w=v_C/PC= v_C/R
G’ildirak yoki shesternya ixtiyoriy tsilindrik sirt ustida dumalab harakatlanganda ham ularning tezliklari xuddi shunday aniqlanadi (152 shakl).
5-masala. Agar A -yuk, v_A -tezlik bilan yuqoriga ko’tarilayotgan va B-yuk v_B - tezlik bilan pastga qarab tushayotgan bo’lsa, radiusi r -bo’lgan qo’zg’aluvchi blokning markazi C nuqtaning tezligini va uning burchakli tezligi w-ni aniqlang (157 shakl). Blokning harakati davomida unga o’ralgan ip sirpanmaydi va har doim vertikal holda turadi deb hisoblansin.


131-shakl
E sh i sh. Ip qo’zg’aluvchi blokning sirtida sirpanmaganligi sababli, blokning a va b nuqtalarining tezliklari ularga mahkamlangan yuklarning tezliklariga tengdir. Ya’ni v_a=v_A va v_b=v_B . Ipning a va b nuqtalarining tezliklarini bilgan holimizda, v_B > v_A deb qabul qilsak, 127- b shakldagi kabi usul bilan qo’zg’aluvchi blokning oniy tezliklar markazining o’rni P-ni aniqlaymiz. Blokning markazi C nuqtaning tezligini -vektor orqali ifodalaymiz. Bu tezlikning modulini va blokning burchakli tezligini (9.5) formula yordamida quyidagi tengliklar orqali aniqlaymiz, ya’ni
;
bundan, ab=2r va bC=r ekanligini hisobga olib:
w=(v_B+v_A)/2r, v_C=(v_B -v_A)/2
Agar v_B>v_A bo’lsa C blokning markazi yuqoriga ko’tariladi; v_BA bo’lsa u pastga tusha boshlaydi. v_B=v_A blokning markazi harakatlanmaydi, ya’ni v_C=0 bo’ladi.
Agar ikkala A va B yuklar pastga qarab tusha boshlasalar, w va v_C -larning qiymatlarini aniqlash uchun yuqoridagi formulalarda v_A-ni o’rniga - v_A qo’yish lozim bo’ladi.
7a.1 § Tekis shakl nuqtalarining tezlanishlarini aniqlashga "Tekislikka parallel harakat: chiziqli tezlanishlar:"
Tekislikka parallel harakatdagi qattiq jismning ixtiyoriy nuqtalarining tezlanishlari (tezliklari kabi), jismning qutb bilan birgalikdagi ilgarilanma harakatdagi va qutb atrofidagi aylanma harakatida oladigan tezlanishlarning vektor yig’indilaridan iborat bo’lishligini ko’rib o’tamiz.
Tekislikdagi harakatdagi jismning M nuqtasini Oxy o’qlardagi holati (132-shakl) radius vektor orqali ifodalanadi. Bu erda , u holda M nuqtaning tezlanishi,

Ushbu tenglamaning o’ng tarafidagi birinchi yig’indi A nuqta (qutb)ning tezlanishi, ikkinchi yig’indi esa M nuqtaning A qutb atrofidagi aylanishidan oladigan tezlanishdan iborat . Demak,
(7a.1)
-tezlanishning son qiymati, qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatida oladigan tezlanishidan iborat bo’lib,12.3§-dagi (12.13) va (12.14) formulalar orqali aniqlanadi:
a_MA=MA , tgm=e/w^{2 (7a.2)}
bu erda w va e - jismning burchakli tezligi va burchakli tezlanishi^[5], m -esa vektor bilan MA kesma orasidagi burchak (132- shakl).


132- shakl
Shunday qilib, tekislikdagi harakatdagi jismning ixtiyoriy M nuqtasining tezlanishi, qutb deb tanlab olingan birorta A nuqtaning tezlanishi va jismning shu A - qutb atrofidagi aylanishidan hosil bo’ladigan tezlanishlarning geometrik yig’indisidan iborat bo’lar ekan. - vektorning moduli va yo’nalishini tegishli parallelogramm qurish orqali aniqlaniladi (132-shakl).
Ammo a_M -tezlanishni parallelogramm qurish orqali 132-shakldagi kabi aniqlashda, ancha murakkab amallarni bajarishga olib keladi, masalan, m -burchakni oldindan hisoblash, so’ngra va -vektorlar orasidagi burchakni aniqlash kerak bo’ladi. Shu sababli -vektorni ikkita tashkil etuvchilarga ajratib yuboriladi, ya’ni -urinma va -normal tezlanishlari, ya’ni (7.5) tenglik quyidagi ko’rinishga keladi,
(7a.3)


133- shakl
Vektor -AM kesmaga perpendikulyar bo’lib, tezlanuvchan harakatda aylanish tomoniga, sekinlanuvchan harakatda esa, aylanishga teskari tomonga yo’naladi, - vektori har doim M nuqtadan A nuqtaga qarab yo’nalgan bo’ladi (133- shakl). Ushbu tezlanishlarning modullari esa,
=AM×e, =AM×w² (7a.4)
Agar qutb A egri chiziqli harakatda bo’lib, uning traektoriyasi ma’lum bo’lsa, u nuqtaning tezlanishini urinma - va normal - tashkil etuvchilarga ajratib yuborgan mahqul bo’ladi, u holda
(7a.5)
Va nihoyat, agar M nuqta egri chiziq bo’ylab harakatlanib, uning traektoriyasi ma’lum bo’lsa, u holda (7a.3) -(7a.5) tenglamalarning chap tarafdagi -vektorni ham ikkita tashkil etuvchi vektorlarning yig’indisi + -dan iborat deb hisoblash mumkin bo’ladi. Masalalarni echishda amalda (7a.3)-(7a.5) formulalardan ko’proq foydalaniladi.
Masalalar echish. Agar: 1) shaklning shu ondagi A nuqtasining tezligi- va tezlanishi- ma’lum bo’lsa; 2) shaklning boshqa birorta B nuqtasining traektoriyasi ma’lum bo’lsa, bu shaklning ixtiyoriy nuqtasining shu ondagi tezlanishini aniqlash mumkin. Bahzi hollarda ikkinchi nuqtaning traektoriyasi o’rniga jismning oniy tezliklar markazining joylashgan nuqtasi (o’rni) berilishi ham mumkin.
Jism (yoki mexanizm)ning qaysi holati uchun uning nuqtalarining tezlanishlarini aniqlash lozim bo’lsa, uni xuddi o’sha holatda tasvirlash kerak. Hisoblashni qutb deb tanlab olingan nuqtaning tezlik va tezlanishlarini aniqlashdan boshlash lozim. Keyingi hisoblash ishlarini quyidagi masalalarni echish orqali tushuntirib boramiz. Qo’shimcha ko’rsatmalar kerakli, joylarda berib boriladi.


134-shakl
1- masala. To’g’ri chiziqli rels ustida dumalab ketayotgan (134- shakl) g’ildirakning O markazining shu ondagi tezligi v_O=1m/s, tezlanishi esa a_O=2m/c². G’ildirakning radiusi R=0,2 m. OP -ga perpendikulyar bo’lgan AB diametrning oxiridagi B nuqtaning tezlanishini va oniy tezliklar markazi bo’lgan P-nuqtaning tezlanishi aniqlansin.
Echish. 1) O nuqtaning tezligi - v_O va tezlanishi- a_O ma’lum bo’lganligi sababli, bu nuqtani qutb deb tanlab olamiz.
2) w-n i a n i q l a sh. G’ildirak bilan relsning tutashgan nuqtasi oniy tezliklar markazi bo’ladi; shu sababli g’ildirakning burchakli tezligi,
w=v_O/PO= v_O/R, (a)
w -ning yo’nalishi -ning yo’nalishiga bog’liq holda aniqlanadi, uning yo’nalishi chizmada yo’g’on strelka orqali ifodalangan.
3) e -n i a n i q l a s h. (a) tenglikdagi PO=R qiymat g’ildirakning ixtiyoriy holatida ham har doim o’zgarmas bo’lganligini e’tiborga olib, undan vaqt bo’yicha bir marta hosila olsak,
yoki (b)
w va e -larning ishoralari bir xil ekanligidan, harakat tezlanuvchan ekanligi aniqlandi.
Burchakli tezlanishga "Qattiq jism harakati: qо’zg’almas о’q atrоfida: burchakli tezlanish:" e -ni aniqlashda faqat (a) formuladagi RO=const bo’lgan hollardagina (b) formula orqali aniqlanadi.
E s l a t m a l a r:.
a) masalaning shartida v_O=1m/s bo’lganligi uchungina v_O=const deb hisoblash noto’g’ri bo’ladi. v_O -ning qiymati faqat shu on uchun berilgan, keyingi daqiqada uning qiymati o’zgarishi mumkin, chunki a_O¹0.
b) hozirgi holatda dv_O/dt=a_O, chunki O nuqta to’g’ri chiziqli traektoriya bo’yicha harkatlanmoqda. Umumiy holda bo’ladi.
4) va -larni aniqlash. O nuqtani qutb deb tanlab olganligimiz sababli, (7a.3) formulaga asosan,
(c)
(a) va (b) -lardan foydalanib, BO=R ekanligi
=BO×e=a_O=2m/s² va =BO×w²= /R=5 m/s² (g)
Shaklda B nuqtani alohida ko’rsatamiz (masshtabni inkor qilgan holda) va -vektorni tashkil etuvchi vektorlarni, nomma-nom: -vektorni (O nuqtadan parallel ravishda ko’chiramiz), -vektorni (harakat tezlanuvchan bo’lgani uchun, harakat tomonga yo’naltiramiz) va -vektorni (har doim B nuqtadan O qutbga yo’naltiramiz).
5) a_B - n i h i s o b l a s h. Bx va By o’qlarini o’tkazib, quyidagilarni aniqlaymiz,