79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

Xususiy holda, A₁, A₂,…, A_n hodisalar p ga teng bo’lgan bir xil ehtimollikka ega bo’lsa, u holda shu hodisalardan kamida bittasining ro’y berish ehtimolligi

P(A)=1-qⁿ (80.10)

bo’ladi, bunda q=1-p.

11-misol. Uchta to’pdan otishda nishonga tekkizish ehtimollikalari mos ravishda p₁=0,8, p₂=0,7, p₃=0,9, nishon yakson qilinishi uchun unga bitta o’qning tegishi kifoya qilsa, uchala to’pdan bir yo’la otishda nishonning yakson qilinishi (A hodisa) ehtimolligini toping.

Yechilishi. A₁, A₂ va A₃ hodisalar nishonni mos ravishda birinchi, ikkinchi va uchinchi to’plardan yakson etilishini anglatsin. Bu hodisalar birgalikda va bog’liq emas. A₁, A₂, A₃ hodisalarga qarama-qarshi hodisalarning ehtimolliklari mos ravishda q₁=1-P₁=1-0,8=0,2, q₂=1-p₂=1-0,7=0,3, q₃=1-p₃=1-0,9=0,1 bo’ladi.

Izlanayotgan ehtimollikni (80.9) formulaga asoslanib topamiz:

P(A)=1-0,2·0,3·0,1=0,994.
80.4. To’la ehtimollik va Beyes formulalari

1. To’la ehtimollik formulasi. Biror A hodisa n ta juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalarning to’liq guruhini tashkil etuvchi H₁, H₂,…, H_n hodisalarning (ular gipotezalar deb ataladi) bittasi va faqat bittasi bilangina ro’y berishi mumkin bo’lsin. Bu gipotezalaning ehtimolliklari ma’lum, ya’ni P(H₁), P(H₂)…, P(H_n) berilgan. Bu gepotezalarning har biri amalga oshganda A hodisaning ro’y berish shartli ehtimolliklari ham ma’lum, ya’ni P(A׀H₁), P(A׀H₂)…, P(A׀H_n) berilgan. A hodisaning ehtimolligini hisoblash talab qilinadi.

H₁,H₂,…,H_n hodisalar to’liq guruhni tashkil etganligi uchun

A=AU=A(H₁+H₂+…+H_n)=AH₁+AH₂+…+AH_n. Shartga ko’ra H₁,H₂,…,H_n gipotezalar birgalikda emas, shuning uchun AH₁,AH₂,…,AH_n hodisalar ham birlikda bo’lmaydi. Bularga avval birgalikda bo’lmagan hodisalar ehtimolliklarni qo’shish teoremasini, keyin 80.4-teoremani qo’llab, quyidagini hosil qilamiz:

P(A)=P(AH₁)+P(AH₂)+…+P(AH_n)=P(H₁)·P(A׀H₁)+P(H₂)·P(A׀H₂)+…+ +P(H_n)·P(A׀H_n).

Demak,

P(A)=. (80.11)

Bu formula to’la ehtimollik formulasi deyiladi.

12-misol. Yakuniy nazorat variantlari orasida talaba bilmaydiganlari ham bor. Qaysi holda talaba uchun u biladigan variantni olish ehtimolligi katta bo’ladi: u variantni birinchi bo’lib olgandami yoki ikkinchi bo’lib olgandami?

Yechilishi. n-barcha variantlar soni va k-talaba biladigan variantlar soni bo’lsin. A orqali talaba o’zi biladigan variantni olish hodisasini belgilaymiz. Agar talaba variantni birinchi bo’lib oladigan bo’lsa, u holda bizni qiziqtirayotgan ehtimollik P(A)= ga teng

Agar “bizning” talabamiz variantni ikkinchi bo’lib oladigan bo’lsa, bu yerda tabiiy ushbu ikkita gipotezalar o’rinli:

H₁- birinchi talaba “bizning” talaba biladigan variantni oldi.

H₂- birinchi talaba “bizning” talaba bilmaydigan variantni oldi.

Bu gipotezalarning ehtimolliklari

va A hodisaning shartli ehtimolliklari

bo’ladi.

(80.11) formulaga asosan A hodisaning to’la ehtimolligini topamiz:

P(A)=P(H₁) +P(H₂) =

Shunday qilib, bizni qiziqtirayotgan ehtimollik ikkila holda ham bir xil ekan.