8-§. Sanlí funkciyalar túsinigi

Kesindide uzliksiz funkciyalardıń qásiyetleri. 1-anıqlama. funkciya intervalınıń hárbir noqatında uzliksiz bolıp, noqatında oń tárepten uzliksiz hám noqatında shep tárepten uzliksiz bolsa, onda funkciyasına segmentinde uzliksiz delinedi.
segmentinde uzliksiz funkciyalar kópligin turinde belgileymiz.
1-teorema(uzliksiz funkciyanıń shegaralanǵanlıǵı). Eger bolsa, onda funkciyası segmentinde shegaralanǵan, yaǵnıy .
Dálilleniwi. Máyli kerisinshe funkciyası segmentinde shegaralanbaǵan bolsın. Onda orınlı boladı. Bunda sanı erikli bolǵanı ushın mánislerie argumenttiń mánisleri sáykes keledi hám ushın teńsizligi orınlı boladı. Usıǵan qosımsha argumenttiń izbe-izligi shegaralanǵan, sebebi ushın teńsizligi orınlı. Sonlıqtan Bolcano-Veyershtrass teoreması tiykarında izbe-izliginen jıynaqlı ules izbe-izligin ajıratıw mumkin. Onda , bolǵanı ushın , hám teńsizlikleri ushın orınlı. Onda . Ekinshi tárepten bolǵanı ushın boladı. Nátiyje shektiń birden-birlik qasiyetine qarama-qarsı. Sonlıqtan teoremanıń shártlerinde funkciyası segmentinde shegaralanbaǵan bolıwı mumkin emes. Sol sebepli funkciyası segmentinde shegaralanǵan degen nátiyje durıs boladı.
Eskertiw. Dálillengen teorema tek segment turindegi sanlı kesindiler ushın ǵana orınlı. Interval, yarım interval turindegi hám sheksiz kesindiler ushın orınlı emes. Mısal ushın , biraq , yaǵnıy shegaralanbaǵan. , biraq shegaralanbaǵan.
2-teorema(uzliksiz funkciyanıń anıq shegaraları). Eger bolsa, onda sonday noqatları bar boladı da hám teńlikleri orınlı boladı.
Dálilleniwi. Meyli hám bolsın. Onda teńsizligi orınlı hám boladı. Onda hám 1-teoremaǵa sáykes shegaralanǵan. Demek, . Bunnan teńsizligi orınlanadı, yaǵnıy sanı funkciyasınıń tómengi shegarası boladı. Bul anıqlamasına qarama-qarsı. Sonlıqtan teńsizligin biykarlap, degen natiyje shıǵaramız. jaǵday usıǵan uqsas dálillenedi.
Eskertiw. Dálillengen teorema tek segment turindegi kesindilerde ǵana orınlı. Intervalda uzliksiz funkciyalar ózleriniń anıq shegaralarına erise almawı mumkin. Mısal ushın funkciyası intervalında sáykes -2 hám 2 ge teń anıq tómengi hám anıq joqarǵı shegaralarına erise almaydı.