8-§. Sanlí funkciyalar túsinigi

3-teorema(uzliksiz funkciyanıń noli). Eger hám teńsizligi orınlı bolsa, onda eń bolmaǵanda bir noqatı tabılıp, teńligi orınlı boladı.
Dálilleniwi. segmentin noqatı menen teń ekige bólemiz. Eger bolsa, onda teorema dálillengen boladı. Eger bolsa, onda diń tańbası sanlarınıń birewiniń tańbasına qarama-qarsı. Sonlıqtan hám segmentlerinen birewiniń shetki tochkalarında hárqıylı tańbadaǵı mánislerine iye boladı. Sol segmentti arqalı belgilep, noqatı járdeminde teń ekige bólemiz. Eger bolsa, onda teorema dálillengen boladı. Eger bolsa, onda segmentin shetki tochkalarında hárqıylı tańbadaǵı mánislerine iye bolatuǵınday etip tańlaymız. Processti usılay dawam ettire otırıp, bir-birine ishpe-ish jaylaqan segmentlerdiń izbe-izligine iye bolamız. Bul izbe-izliktiń aǵzalarınıń uzınlıqları sáykes hám .Onda bir-birine ishpe-ish jaylaqan hám qısılıwshı segmentler izbe-izligi boladı. Sol sebepli Kantor teoremasına sáykes ushın jalǵız noqat bar boladı. Endi belgilewin kiritsek, hám bolǵanı ushın boladı. Sonıń menen birge , onda . Bul teńsizlik bolǵanda ǵana durıs.
Eskertiw. Teoremanıń shártleri orınlı bolǵanda funkciyasınıń grafigi OX kósherin, argumenttiń segmentine tiyisli, eń bolmaǵanda bir tochkada kesip ótedi.
4-teorema(uzliksiz funkciyanıń aralıq mánisi). Eger hám bolsa, onda

teńsizligin qanaatlandıratuǵın hárbir sanı ushın noqatı tabılıp, teńligi orınlı boladı.
Dálilleniwi. Eger yamasa bolsa, onda sáykes yamasa bolıp teorema dálillengen esaplanadı. yamasa bolsa, onda járdemshi funkciyası ushın teńsizligi orınlı. Sonlıqtan 3-teoremaǵa sáykes teńligi orınlı bolatuǵın noqatı bar boladı. Bunnan .