8-§. Shegaraları qózǵalatuǵin variaciyalıq máseleler. Bolc máselesi

2. Shegara noqatlarınıń birewi qozǵalmalı ápiwayı másele

Á piwayılıq ushın, shegara noqatlarınıń birewi, máselen (x₀,u₀) noqatı qozǵalmaydı, al ekinshi noqatı qozǵalıp, noqatına ótedi dep uyǵaramız. egerde hám variaciyaları, hám ósimleri kishi bolsa, onda hám iymeklikleri bir - birine jaqın boladı dep esaplanalı.

6-сүўрет
Variaciyalıq máselede qozǵalmaytuǵın shegara noqatı bolǵanlıqtan, noqatı arqalı ótetuǵın ekstremallar ekstremallarınıń dástesin dúzedi. Sonlıqtan funkcionalı bul dásteniń iymeliklerinde hám dıń funkciyasına aylanadı. egerde dástesınıń iymelikleri qaralıp atırǵan ekstremaldıń dógereginde kesilispese, onda funkcionalına hám dıń bir mánisli funkciyası esabında qarawǵa boladı. Óytkeni, hám dıń beriliwi iymelikler dástesiniń ekstremalın anıqlaydı hám sonlıqtan funkcionaldıń da mánisin anıqlaydı.
Shegarlıq noqatı ahwalına ótkendegi funkcionalınıń iymelikler dástesınıń ekstremallarındaǵı variaciyasın esaplaymız. Bul jaǵdayda funkcionalı kórsetilgen iymekler dástesinde hám dıń funkciyasına aylanǵanlıqtan, onıń variaciyası bul funkciyanıń differencialı menen sáykes keledi. Usılardı esapqa alıp, ósiminen hám lerge qarata sızıqlı úlesin ajıratıp alamız:
(2.1)
Bul teńlemeniń oń jaǵındaǵı birinshi qosılıwshını integraldıń ortasha mánisi haqqındaǵı teoremadan paydalanıp, túrlendiremiz:
(2.2)
hám úzliksiz funkciya bolǵanlıqtan, mına teńlikti jazıwǵa boladı:
(2.3)
Bunda ge umtılǵanda, ge umtılatuǵın shama.
Solay etip,
(2.4)
teńligine kelemiz.
Endi (1) nıń oń jaǵındaǵı ekinshi qosılıwshını, yaǵnıy integral astındaǵı funkciyanı Teylor formulası boyınsha jiklew jolı menen túrlendiremiz:
(2.5)
Bunda yamasa penen salıstırǵanda joqarı tártipli kishi shama. Óz gezeginde, (5) teńliginiń oń jaǵındaǵı
(2.6)
sızıqlı úlesi, intergral astındaǵı ekinshi qosılıwshını bóleklep integrallaw arqalı túrlendiriliwi múmkin. Sonda (6) tómendegishe jazıladı:
(2.7)
Funkcionaldıń mánisi tek ekstremallarda ǵana qaralatuǵınlıqtan, (7) den mına teńlikke kelemız:

Sonday aq, shegara noqatı qozǵalmaytuǵınlıqtan, boladı. Usılardı esapqa alsaq, onda
(2.8)
boladı. Bul jerde mınaǵan itibar beremiz: ge teń emes. óytkeni, - bul noqatı ahwalına ótkendegi dıń ósimi boladı, al bul hám noqatları arqalı ótetuǵın ekstremaldan hám noqatları arqalı ótetuǵın ekstremalǵa ótkendegi, ordinatasınıń noqatındaǵı ósimi boladı.
Súwretten paydalanıp, mına teńliklerdi jazıwǵa boladı:

yamasa
; (2.9)
Sonǵı, (9) juwıq teńlik, joqarı tártipli kishi shamaǵa shekemgi dállik penen durıs boladı.